درباره تعریف

Thu, 12 Nov 2026 00:00:00 +0000

نخستین انتشار: پنج‌شنبه، ۱۰ آوریل ۲۰۰۸؛ بازنگری اساسی: چهارشنبه، ۱۳ سپتامبر ۲۰۲۳

تعریف‌(Definition) از دوران باستان مورد توجه فیلسوفان بوده‌اند. محاورات اولیه افلاطون، سقراط را در حال طرح پرسش‌هایی درباره تعریف‌ها به تصویر می‌کشند (برای مثال، در محاوره اوتیفرون (Euthyphro) این پرسش که «پارسایی چیست؟»)؛ پرسش‌هایی که در عین حال عمیق و دشواریاب به نظر می‌رسند. گام اساسی در برهان «اثبات وجودشناختی» آنسلم برای اثبات وجود خدا، تعریف «خدا» است و همین امر درباره صورت‌بندی دکارت از این استدلال در تأمل پنجم (Meditation V) نیز صادق است. در دوران جدیدتر، تعریف فرگه ـ راسل از عدد و تعریف تارسکی از صدق، تأثیری شکل‌دهنده بر طیف گسترده‌ای از مباحث فلسفی معاصر داشته‌اند.

در تمام این موارد ـ و موارد متعدد دیگری که می‌توان به آنها اشاره کرد ـ نه‌تنها درباره تعریف‌های خاص بحث و مناقشه شده است، بلکه ماهیت تعریف‌ها و الزامات آنها نیز موضوع بحث بوده است. برخی از این مناقشات را می‌توان با ایجاد تمایزهای لازم حل‌وفصل کرد؛ زیرا همه تعریف‌ها از یک نوع نیستند: تعریف‌ها کارکردهای گوناگونی دارند و ویژگی‌های کلی آنها متناسب با کارکردشان متفاوت است. بااین‌حال، حل‌وفصل برخی دیگر از این مناقشات چندان آسان نیست؛ چراکه این مناقشات متضمن ایده‌های فلسفی مناقشه‌برانگیزی همچون ذات (Essence)، مفهوم (Concept) و معنا (Meaning) هستند.

گونه‌های تعریف

در زبان عرفی، چندین نوع متفاوت از امور را به‌عنوان موضوعات ممکن تعریف به رسمیت می‌شناسد و چندین نوع فعالیت را نیز تعریف‌کردن یک چیز می‌داند. مثلاً:

کمیسیونی در سازمان ملل مرز میان دو کشور را تعریف می‌کند.
دیوان عالی از طریق آرای خود، مفاهیم «شخص» و «شهروند» را تعریف می‌کند.
شیمی‌دانی که تعریف طلا را کشف می‌کند
دانشمند لغت شناسی که که تعریف واژه «باحال» (cool) را به دست می‌دهد.
شرکت‌کننده‌ای در یک مناظره که موضوع مورد اختلاف را تعریف می‌کند.
ریاضی‌دانی تعریف «مجموعه» را وضع می‌کند.

در اینجا، امور متفاوتی موضوع تعریف قرار گرفته‌اند: مرز، وضعیت حقوقی، ماده، واژه، مدعا و نوع انتزاعی. افزون بر این، هدف همه این تعریف‌ها یکسان نیست: کمیسیون تعیین مرز ممکن است در پی دستیابی به دقت باشد؛ دیوان عالی، در پی عدالت؛ شیمی‌دان و لغت نامه نویس، در پی صحت؛ مناظره‌کننده، در پی وضوح؛ و ریاضی‌دان، در پی ثمربخشی.

بنابراین، معیارهایی که تعریف‌ها بر اساس آنها ارزیابی می‌شوند، ممکن است از موردی به مورد دیگر متفاوت باشند. شاید بتوان همه این تعریف‌های متفاوت را ذیل این فرمول ارسطویی جای داد که تعریف، ذات یک چیز را بیان می‌کند. اما این کار صرفاً این واقعیت را برجسته می‌سازد که «بیان ذات یک چیز» نوع واحدی از فعالیت نیست.

در فلسفه نیز غالباً چندین نوع متفاوت از تعریف مطرح‌اند و تعریف‌ها می‌توانند کارکردهای گوناگونی داشته باشند (برای مثال، افزایش دقت و وضوح). بااین‌حال، در فلسفه، از تعریف‌ها برای ایفای نقشی بسیار متمایز نیز استفاده شده است: حل مسائل معرفت‌شناختی.

برای مثال، جایگاه معرفت‌شناختی (Epistemological Status) حقایق ریاضی، مسئله‌ای را پیش می‌کشد. ایمانوئل کانت معتقد بود که این حقایق، ترکیبی پیشینی (Synthetic A Priori) هستند و برای تبیین جایگاه آنها، نظریه‌ای درباره مکان و زمان عرضه کرد؛ یعنی نظریه مکان و زمان به‌مثابه صورت‌های شهود حسی (Forms of Intuition) بیرونی و درونی، به‌ترتیب.

گوتلوب فرگه و برتراند راسل کوشیدند با استدلال به اینکه حقایق حسابی تحلیلی (Analytic) هستند، نظریه کانت را تضعیف کنند. به‌طور دقیق‌تر، آنها تلاش کردند استنتاجی از اصول حسابی بر اساس تعریف‌های مفاهیم حسابی و با استفاده انحصاری از قوانین منطقی ارائه دهند. برای موفقیت پروژه فرگه ـ راسل، تعریف‌های مورد استفاده باید واجد ویژگی خاصی باشند. این تعریف‌ها باید مفهومی (Conceptual) یا تبیین‌گر معنا (Meaning-Explicative) باشند؛ آنها نمی‌توانند ترکیبی (Synthetic) باشند.

این همان نوع تعریفی است که طی حدود یک قرن گذشته بیشترین توجه و بیشترین مناقشه را برانگیخته است و همان نوع تعریفی است که موضوع اصلی بحث ما خواهد بود. اجازه دهید بحث را با مشخص‌کردن چند تمایز مقدماتی اما مهم آغاز کنیم.

تعریف‌های حقیقی و اسمی

جان لاک در کتاب جستاری در باب فهم بشری (Essay Concerning Human Understanding) میان «ذات حقیقی» (Real Essence) و «ذات اسمی» (Nominal Essence) تمایز قائل شد. به اعتقاد لاک، ذات اسمی عبارت است از «ایده انتزاعی‌ای که نام به آن پیوسته است» (III.vi.2). بنابراین، لاک می‌گوید ذات اسمیِ نام «طلا» عبارت است از «آن ایده مرکبی که واژه طلا بر آن دلالت می‌کند؛ برای مثال، جسمی زردرنگ، دارای وزنی معین، چکش‌خوار، ذوب‌پذیر و پایدار». در مقابل، ذات حقیقی طلا عبارت است از «ساختار اجزای نامحسوس آن جسم که این کیفیات [ذکرشده در ذات اسمی] و همه خواص دیگر طلا به آنها وابسته‌اند» (III.vi.2).

برای مشخص‌کردن تمایز میان تعریف‌های حقیقی (Real) و اسمی(Nominal)، می‌توان به‌طور تقریبی، با پیروی از لاک، گفت که تعریف حقیقی ذات حقیقی را بیان می‌کند، درحالی‌که تعریف اسمی ذات اسمی را بیان می‌کند. شیمی‌دان در پی تعریف حقیقی است، حال آنکه لغت نامه نویس در پی تعریف اسمی است. این توصیف از تمایز یادشده تقریبی است؛ زیرا تعریف جانورشناس از «ببر» باید تعریفی حقیقی به شمار آید، هرچند ممکن است نتواند «ساختار اجزای نامحسوس» ببر را ارائه کند. افزون بر این، شرح معنای یک واژه باید تعریفی اسمی به شمار آید، هرچند ممکن است صورت لاکیِ بیان «ایده انتزاعی‌ای که نام به آن پیوسته است» را نداشته باشد.

شاید بتوان تمایز میان تعریف‌های حقیقی و اسمی را به این صورت روشن‌تر بیان کرد: برای کشف تعریف حقیقی یک اصطلاح، باید درباره شیء یا اشیایی که آن اصطلاح بر آنها دلالت می‌کند تحقیق کرد؛ برای کشف تعریف اسمی، باید معنا و کاربرد آن اصطلاح را بررسی کرد. اینکه جست‌وجو برای یافتن پاسخی به پرسش سقراطی «فضیلت چیست؟» جست‌وجویی برای تعریف حقیقی است یا تعریف اسمی، به تلقی ما از این فعالیت فلسفی خاص بستگی دارد. هنگامی که به دنبال پاسخ‌دادن به پرسش سقراطی هستیم، آیا می‌کوشیم درک روشن‌تری از کاربردهای واژه «فضیلت» به دست آوریم، یا می‌خواهیم شرحی از آرمانی ارائه کنیم که تا اندازه‌ای مستقل از این کاربردهاست؟ بر اساس تلقی نخست، در پی تعریف اسمی هستیم و بر اساس تلقی دوم، در پی تعریف حقیقی.

برای بحثی انتقادی درباره فعالیت‌های متفاوتی که ذیل عنوان «تعریف حقیقی» جای گرفته‌اند، بنگرید به Robinson 1950؛ همچنین برای آگاهی از دیدگاه‌های باستانی درباره این موضوع، بنگرید به Charles 2010. فاین (Fine 1994) از این تلقی دفاع می‌کند که تعریف حقیقی، یک شیء را از طریق مشخص‌کردن چیستی آن تعریف می‌کند؛ به عبارت دیگر، تعریف حقیقی، ذات شیء تعریف‌شده را آشکار می‌سازد. روزن (Rosen 2015) تبیینی از تعریف حقیقی بر اساس مبنابودن (Grounding) ارائه می‌کند: تعریف، مبنای ذات شیء را فراهم می‌آورد. بااین‌حال، معنای «ذات» و «مبنا» همچنان موضوع مناقشه‌ای جاری است.

تعریف‌های لغوی

تعریف‌های اسمی ــ یعنی تعریف‌هایی که معنای یک اصطلاح را توضیح می‌دهند ــ همگی از یک نوع نیستند. لغت نامه، به یک معنای خاص از این عبارت، معنای یک اصطلاح را توضیح می‌دهد. هدف لغت نامه‌ها ارائه تعریف‌هایی است که اطلاعات کافی برای انتقال فهمی از اصطلاح دربر داشته باشند. این واقعیتی درباره ما، به‌عنوان کاربران زبان، است که وقتی مقدار اندکی اطلاعات درباره یک اصطلاح در اختیارمان قرار می‌گیرد، به نحوی می‌توانیم بی‌نهایت جمله‌های بالقوه‌ای که حاوی آن اصطلاح هستند را بفهمیم و به کار ببریم. اینکه این امر دقیقاً چگونه اتفاق می‌افتد، معمایی بزرگ است. اما به‌هرحال چنین اتفاقی رخ می‌دهد و لغت نامه‌ها از این واقعیت بهره می‌برند. توجه داشته باشید که مدخل‌های لغوی یگانه و منحصر‌به‌فرد نیستند. لغت نامه‌های مختلف می‌توانند اطلاعات متفاوتی ارائه دهند و بااین‌حال، همگی در توضیح معنای اصطلاحات به یک اندازه مؤثر باشند.

تعریف‌هایی که فیلسوفان در پی آنها هستند، از نوع تعریف‌های موجود در لغت نامه نیستند. تعریف فرگه از عدد (۱۸۸۴) و تعریف آلفرد تارسکی از صدق (۱۹۸۳، فصل ۸)، به‌عنوان نامزدهایی برای مدخل‌های لغوی ارائه نشده‌اند. هنگامی که یک معرفت‌شناس در پی تعریف «معرفت» است، به دنبال یافتن مدخلی مناسب برای واژه «دانستن» در یک لغت نامه نیست. جست‌وجوی فلسفی برای یافتن تعریف را گاهی می‌توان به‌نحو ثمربخشی جست‌وجویی برای «تبیین معنا» (Explanation of Meaning) توصیف کرد. اما معنای عبارت «تبیین معنا» در اینجا با معنایی که این عبارت در توصیف کار لغت نامه در توضیح معنای یک واژه دارد، بسیار متفاوت است.

تعریف‌های وضعی

یک تعریف وضعی(stipulative)، معنایی به یک اصطلاح معیّن می‌بخشد و متضمن هیچ تعهدی به این نیست که معنای تخصیص‌یافته با کاربردهای پیشین آن اصطلاح (در صورت وجود) مطابقت داشته باشد. تعریف‌های وضعی از نظر معرفت‌شناختی ویژگی خاصی دارند. این تعریف‌ها احکامی پدید می‌آورند که واجد ویژگی‌های معرفت‌شناختی‌ای هستند که در موارد دیگر شگفت‌آور به نظر می‌رسند. اگر کسی به‌صورت وضعی «رایمکس» (Raimex) را، برای مثال، موجودی عاقل، خیال‌پرداز و دارای تجربه تعریف کند، آنگاه ضروری، یقینی و پیشینی (A Priori) بودن حکم «رایمکس‌ها عاقل‌اند» تضمین شده است. فیلسوفان وسوسه شده‌اند که موارد شگفت‌آوری مانند احکام پیشینی را با توسل به تعریف‌های وضعی تبیین کنند.

سول کریپکی (Kripke 1980) توجه‌ها را به نوع خاصی از تعریف وضعی جلب کرده است. ما می‌توانیم نامی جدید (برای مثال، «جک قاتل») را از طریق یک وصف (برای مثال، «مردی که مرتکب قتل‌های … و … شده است») به‌صورت وضعی وارد زبان کنیم. کریپکی خاطرنشان می‌کند که در چنین وضعی، وصف صرفاً برای تثبیت مرجع (Fixing the Reference) نام جدید به کار می‌رود؛ نام با آن وصف مترادف نیست. زیرا حکم زیر:

(۱)

«جک قاتل همان مردی است که مرتکب قتل‌های … و … شده است، مشروط بر اینکه مردی یگانه مرتکب این قتل‌ها شده باشد»

ممکن است صادق باشد، حتی اگر حکم زیر ضروری باشد:

«جک قاتل همان جک قاتل است، مشروط بر اینکه مردی یگانه مرتکب این قتل‌ها شده باشد»

کریپکی استدلال می‌کند که نامی مانند «جک قاتل» صُلب (Rigid) است: این نام در جهان‌های ممکن (Possible Worlds) مختلف، همواره به همان فرد اشاره می‌کند؛ درحالی‌که وصف، صلب نیست. کریپکی از چنین وضع‌های تثبیت‌کننده مرجع استفاده کرد تا وجود «حقایق پیشینیِ امکانی» (Contingent A Priori Truths) را اثبات کند؛ حکم (۱) نمونه‌ای از این حقایق است.

تعریف‌های وضعیِ «تثبیت‌کننده مرجع»(Reference-fixing) را می‌توان نه‌تنها برای نام‌ها، بلکه برای اصطلاحات متعلق به مقولات دیگر، مانند اسم‌های عام (Common Nouns)، نیز ارائه کرد.

برای دفاع از دیدگاه سخت‌گیرانه‌ای که بر اساس آن، دست‌کم در ریاضیات، تنها تعریف‌های وضعی باید پذیرفته شوند، بنگرید به Frege 1914.[1]

تعریف‌های توصیفی

تعریف‌های توصیفی (Descriptive Definitions)، مانند تعریف‌های وضعی، معنا را شرح می‌دهند؛ اما در عین حال می‌کوشند با کاربرد موجود سازگار باشند. هنگامی که فیلسوفان تعریف‌هایی برای اصطلاحاتی مانند «دانستن» (Know) و «آزاد» (Free) ارائه می‌کنند، در مقام وضع اصطلاح نیستند پس ناسازگاری تعریف آنها با کاربرد موجود، ایرادی علیه آن تعریف به شمار می‌رود.

تمایز میان سه درجه از کفایتِ توصیفیِ یک تعریف می تواند کمک کند: سطح مصداقی(extensional)، سطح مفهومی(intensional) و سطح معنایی(sense).

یک تعریف از حیث مصداقی کافی است (Extensionally Adequate) اگر و تنها اگر هیچ مثال نقض بالفعلی برای آن وجود نداشته باشد.
یک تعریف از حیث مفهومی کافی است (Intensionally Adequate) اگر و تنها اگر هیچ مثال نقض ممکنی برای آن وجود نداشته باشد.
یک تعریف از حیث معنا کافی است (Sense Adequate) ــ یا تحلیلی (Analytic) است ــ اگر و تنها اگر معنای درست را به واژهٔ تعریف‌شده ببخشد. (درجهٔ آخر کفایت خود به مفاهیم گوناگونی تقسیم می‌شود، زیرا «معنا» را می‌توان به چند شیوهٔ مختلف توضیح داد.)

برای مثال، تعریف «آب همان H2O است» از حیث مفهومی کفایت دارد؛ زیرا این‌همانی آب و H2O ضروری است (با فرض پذیرش دیدگاه کریپکی ـ پاتنم درباره صُلبیت اصطلاحات دال بر انواع طبیعی)؛ بنابراین، این تعریف از حیث مصداقی نیز کفایت دارد. اما این تعریف از حیث معنا کفایت ندارد؛ زیرا معنای «آب» به‌هیچ‌وجه همان معنای «H2O» نیست. تعریف «جورج واشنگتن نخستین رئیس‌جمهور ایالات متحده است» تنها از حیث مصداقی کفایت دارد، نه از دو جهت دیگر؛ درحالی‌که تعریف «انسان حیوانی خندان است» در هر سه درجه فاقد کفایت است. هنگامی که تعریف‌ها برای مقاصد معرفت‌شناختی به کار گرفته می‌شوند، کفایت مفهومی عموماً کافی نیست؛ زیرا چنین تعریف‌هایی نمی‌توانند مبنای عقلانیت یا پیشینی‌بودن (Apriority) یک موضوع مسئله‌برانگیز قرار گیرند.

برای آگاهی از تردیدهای کواین درباره تعریف‌های تحلیلی، بنگرید به Quine 1951 و Quine 1960؛ همچنین مدخل تمایز تحلیلی/ترکیبی را ببینید. هورتی (Horty 2007) راه‌هایی برای اندیشیدن درباره معانی تعبیرهای تعریف‌شده، به‌ویژه در چارچوب نظریه معنایی فرگه‌ای، ارائه می‌کند.

تعریف‌های تبیینی

گاهی یک تعریف نه به‌صورت توصیفی و نه به‌صورت وضعی، بلکه به‌عنوان چیزی عرضه می‌شود که رودلف کارناپ (Carnap 1956, §2) آن را تبیین (Explication) می‌نامید. یک تبیین(Explicative Definitions) می‌کوشد برخی از کاربردهای محوری یک اصطلاح را حفظ کند، اما در مورد برخی کاربردهای دیگر، جنبه وضعی دارد. ممکن است تبیین به‌عنوان بهبودی مطلق نسبت به یک مفهوم موجود اما ناقص عرضه شود. یا ممکن است پیشنهاد شود که در بافتی مشخص و برای هدفی معین، اصطلاح موردنظر «بهتر است به این معنا باشد». (عبارت نقل‌شده از آلن راس اندرسون است؛ بنگرید به Belnap 1993, 117.)

تعریف زوج مرتب در نظریه مجموعه‌ها، نمونه ساده‌ای از تبیین به دست می‌دهد. در اینجا، زوج مرتب \((x,y)\) به‌صورت مجموعه \(\{\{x\},\{x,y\}\}\) تعریف می‌شود. اگر این تعریف را نوعی تبیین در نظر بگیریم، مدعی نیست که تمام جنبه‌های کاربردهای پیشین اصطلاح «زوج مرتب» را در ریاضیات (و زندگی روزمره) بازنمایی می‌کند؛ بلکه هدف آن بازنمایی کاربردهای اساسی این اصطلاح است.

واقعیت اساسی درباره کاربرد ما از اصطلاح «زوج مرتب» این است که کاربرد آن تابع این اصل است که دو زوج مرتب یکسان‌اند اگر و تنها اگر مؤلفه‌های متناظر آنها یکسان باشند:

\[ \langle x,y\rangle = \langle z,w\rangle \iff (x=z \land y=w) \]

و می‌توان بررسی کرد که تعریف بالا این اصل را برآورده می‌سازد. این تعریف پیامدهایی نیز دارد که با مفهوم متعارف زوج مرتب سازگار نیستند. برای مثال، از این تعریف نتیجه می‌شود که شیء \(x\) عضوی از یکی از اعضای زوج مرتب \(\langle x,y\rangle\) است؛ درحالی‌که چنین لازمه‌ای بخشی از مفهوم متعارف زوج مرتب نیست. اما این عدم تطابق، ایرادی علیه تبیین به شمار نمی‌رود. آنچه در تبیین اهمیت دارد، نه معنای پیشین، بلکه کارکرد است. تا زمانی که کارکرد حفظ شود، می‌توان از معنای پیشین صرف‌نظر کرد. همین ویژگی تبیین بود که کواین (Quine 1960, §53) را به ستایش مزایای آن واداشت و موجب شد تعریف «زوج مرتب» را به‌عنوان الگویی فلسفی مطرح کند.

شرطیِ ارزش‌صدق‌تابع (Truth-Functional Conditional) نمونه دیگری از تبیین به دست می‌دهد. این شرطی از برخی جهات اساسی با شرطی متعارف تفاوت دارد. بااین‌حال، می‌توان شرطی ارزش‌صدق‌تابع را برای مقاصدی معین در بافت‌هایی مشخص به‌عنوان تبیینی از شرطی متعارف مطرح کرد. کفایت این پیشنهاد به‌طور اساسی به اهداف و بافت‌های موردنظر بستگی دارد. اینکه این دو شرطی از جهات مهم، و حتی اساسی، با یکدیگر تفاوت دارند، به‌خودی‌خود موجب رد این پیشنهاد نمی‌شود.

تعریف‌های اشاری

تعریف‌های اشاری (Ostensive Definitions) معمولاً به بافت و تجربه وابسته‌اند. فرض کنید بافت گفت‌وگو(conversational context) باعث شده باشد که از میان چند سگی که قابل مشاهده‌اند، یکی از آنها برجسته و متمایز شود. در این صورت، می‌توان نام «فِرِدی» را از طریق وضع زیر معرفی کرد: «بگذارید این سگ را فردی بنامیم». به عنوان مثال دیگری، فرض کنید به شاخه‌ای از یک بوته نگاه می‌کنید و نام «چارلی» را به‌صورت وضعی و با این عبارت معرفی می‌کنید: «بگذارید حشره روی آن شاخه را چارلی بنامیم». این تعریف می‌تواند مرجعی را برای نام «چارلی» تثبیت کند، حتی اگر حشرات متعددی روی شاخه وجود داشته باشند. اگر تجربه بصری شما تنها یکی از این حشرات را به شما نشان دهد (مثلاً به این دلیل که حشرات دیگر برای دیده‌شدن بیش از حد کوچک‌اند)، آنگاه همان حشره مصداق کاربرد شما از وصف «حشره روی آن شاخه» خواهد بود. می‌توان تجربه را به‌مثابه چیزی در نظر گرفت که بخشی محدود از جهان را به فاعل شناسایی عرضه می‌کند. این بخش می‌تواند به‌عنوان نقطه‌ای برای ارزیابی تعبیرهای موجود در یک تعریف اشاری به کار رود.[2]

در نتیجه، تعریف می‌تواند با کمک تجربه، مرجعی را برای اصطلاح تعریف‌شده تثبیت کند؛ درحالی‌که بدون این کمک، از انجام این کار ناتوان خواهد بود. در مثال حاضر، وصف «حشره روی آن شاخه» هنگامی که در کل جهان ارزیابی شود، فاقد مصداق است؛ اما هنگامی که در آن بخش از جهان ارزیابی شود که در تجربه بصری شما عرضه شده است، مصداق خواهد داشت. برای آگاهی از تبیینی درباره سهم تجربه در معنای اصطلاحی که به‌صورت اشاری تعریف شده است، بنگرید به Gupta 2019.

یک تعریف اشاری می‌تواند موجب غنی‌سازی اساسی یک زبان شود. تعریف اشاری «چارلی»، زبان را با نامی برای حشره‌ای مشخص غنی می‌کند و کاملاً ممکن است که زبان پیش از این غنی‌سازی، فاقد منابع لازم برای اشاره به آن حشره خاص بوده باشد. برخلاف تعریف‌های آشنای دیگر، تعریف‌های اشاری می‌توانند اصطلاحاتی را معرفی کنند که حذف‌ناپذیرند. (بنابراین، تعریف‌های اشاری ممکن است معیار حذف‌پذیری (Eliminability Criterion) را که در ادامه توضیح داده خواهد شد، برآورده نکنند؛ همچنین ممکن است معیار محافظه‌کاری (Conservativeness Criterion) را نیز که در ادامه توضیح داده خواهد شد، برآورده نکنند.)

توانایی تعریف‌های اشاری در معرفی واژگان اساساً جدید، برخی متفکران را به این دیدگاه سوق داده است که این تعریف‌ها سرچشمه همه مفاهیم بدوی‌اند. برای مثال، راسل در کتاب شناخت بشری (Human Knowledge) اظهار می‌کند:

همه تعریف‌های اسمی، اگر به‌اندازه کافی به عقب بازگردانده شوند، سرانجام باید به اصطلاحاتی منتهی شوند که صرفاً تعریف‌های اشاری دارند؛ و در مورد یک علم تجربی، اصطلاحات تجربی باید به اصطلاحاتی وابسته باشند که تعریف اشاری آنها در ادراک ارائه می‌شود. (ص. ۲۴۲)

سی. اچ. وایتلی (C. H. Whiteley) در مقاله «معنا و تعریف اشاری» («Meaning and Ostensive Definition») این امر را به‌عنوان یک مقدمه می‌پذیرد که تعریف‌های اشاری «وسیله‌ای هستند که انسان‌ها از طریق آنها معنای بیشتر، اگر نه همه، تعبیرهای ابتدایی زبان خود را می‌آموزند؛ تعبیرهایی که سایر تعبیرها بر حسب آنها تعریف می‌شوند». (ص. ۳۳۲) بااین‌حال، باید توجه داشت که هیچ‌چیز در منطق و معناشناسی تعریف‌های اشاری، پذیرش تصویری بنیادگرایانه (Foundationalist) از مفاهیم یا یادگیری زبان را ایجاب نمی‌کند. لودویگ ویتگنشتاین در کتاب پژوهش‌های فلسفی (Philosophical Investigations) چنین دیدگاه‌های بنیادگرایانه‌ای را به‌نحو قاطعی نقد کرد. بااین‌حال، دیدگاه‌های ایجابی ویتگنشتاین درباره تعریف اشاری همچنان مبهم باقی مانده‌اند؛ برای آگاهی از یک تفسیر، بنگرید به Hacker 1975.

تعریف‌های اشاری مهم‌اند، اما فهم ما از آنها همچنان در سطحی ابتدایی قرار دارد. این تعریف‌ها شایسته توجه بیشتری از سوی منطق‌دانان و فیلسوفان هستند.

یک ملاحظه

انواعی که تعریف‌ها را بر اساس آنها دسته‌بندی کرده‌ایم، نه مانعه الجمع‌اند و نه جامع. ممکن است یک تعریف وضعی از یک اصطلاح، اتفاقاً از نظر مصداقی با کاربردهای پیشین آن اصطلاح کفایت داشته باشد. یک لغت نامه ممکن است برای برخی واژه‌ها (برای مثال، واژه‌های مربوط به رنگ) تعریف‌های اشاری ارائه کند. یک تعریف اشاری همچنین می‌تواند تبیینی باشد. برای مثال، می‌توان به این صورت، بهبود مفهومی از پیش موجود مانند «یک فوت» را پیشنهاد کرد: «بگذارید یک فوت، طول فعلی آن میله باشد». مفهوم «یک فوت» در کاربرد پیشین خود ممکن است کاملاً مبهم باشد؛ در مقابل، تبیینی که به‌صورت اشاری معرفی شده است، ممکن است نسبتاً دقیق باشد. افزون بر این، چنان‌که در ادامه خواهیم دید، انواع دیگری از تعریف نیز وجود دارند که تاکنون بررسی نکرده‌ایم.

منطق تعریف‌

بسیاری از تعریف‌ها ــ اعم از تعریف‌های وضعی، توصیفی و تبیینی ــ را می‌توان به سه مؤلفه تحلیل کرد:

اصطلاحی که تعریف می‌شود \((X)\)
تعبیری که اصطلاح تعریف‌شده در آن به کار رفته است \((\ldots X \ldots)\)
و تعبیر دیگری \((\text{ ـ ـ ـ ـ ـ })\) که به‌موجب تعریف، با این تعبیر هم‌ارز قرار داده می‌شود.

چنین تعریف‌هایی را می‌توان به صورت زیر بازنمایی کرد:

(۲)
\[ > X:\quad \ldots X \ldots =\_{\mathrm{df}} \text{ ـ ـ ـ ـ ـ } > \]

(در اینجا تعریف‌های اشاری را که آشکارا به بازنمایی غنی‌تری نیاز دارند، کنار می‌گذاریم.) هنگامی که اصطلاح تعریف‌شده از بافت بحث مشخص باشد، می‌توان بازنمایی را به صورت زیر ساده کرد:

\[ > \ldots X \ldots =\_{\mathrm{df}} \text{ ـ ـ ـ ـ ـ } > \]

تعبیر واقع در سمت چپ نماد « \(\ =\_{\mathrm{df}}\) » که به صورت ( \(\ldots X \ldots\) ) نمایش داده شده، معرَّف (Definiendum) تعریف است و تعبیر واقع در سمت راست آن معرِّف (Definiens) است؛ با این فرض که معرَّف و معرِّف به یک مقوله منطقی تعلق داشته باشند.

به تمایز میان اصطلاح تعریف‌شده و معرَّف توجه کنید: اصطلاح تعریف‌شده در مثال حاضر \(X\) است؛ اما معرَّف، تعبیر نامشخصی است که در سمت چپ نماد \(\ =\_{\mathrm{df}}\) قرار دارد و ممکن است با \(X\) یکسان باشد یا نباشد. (برخی نویسندگان اصطلاح تعریف‌شده را «معرَّف» می‌نامند؛ برخی دیگر نیز این تعبیر را به‌نحو مغشوشی به کار می‌برند و گاهی منظورشان اصطلاح تعریف‌شده و گاهی معرَّف به معنای دقیق آن است.)

همه تعریف‌هایی که در ادبیات منطقی و فلسفی یافت می‌شوند، با الگوی (۲) سازگار نیستند. برای مثال، تعریف‌های جزئی (Partial Definitions) از شمول این الگو خارج‌اند؛ نمونه دیگری نیز تعریف ثوابت منطقی بر اساس قواعد ورود و خروج (Introduction and Elimination Rules) حاکم بر آنهاست. بااین‌حال، تعریف‌هایی که با الگوی (۲) مطابقت دارند، مهم‌ترین نوع تعریف‌ها هستند و موضوع اصلی بحث ما خواهند بود.

بیایید بر تعریف‌های وضعی تمرکز کنیم و درباره منطق آنها تأمل کنیم. چنان‌که خواهیم دید، برخی از درس‌های مهم این بحث به تعریف‌های توصیفی و تبیینی نیز قابل تعمیم‌اند. برای سادگی، موردی را در نظر بگیریم که در آن، یک تعریف واحد، اصطلاحی را به‌صورت وضعی وارد زبان می‌کند. (تعریف‌های متعدد پیچیدگی نمادگذاری را افزایش می‌دهند، اما مسئله مفهومی جدیدی پدید نمی‌آورند.) بنابراین، فرض کنید زبانی به نام \(L\)، که زبان پایه (Ground Language) است، از طریق افزودن اصطلاح جدید \(X\) به زبانی گسترش‌یافته به نام \(L^+\) توسعه یابد؛ به‌گونه‌ای که \(X\) به‌صورت وضعی و به‌واسطه تعریفی به نام \(D\)، با صورت (۲)، تعریف شده باشد. چه قواعد منطقی‌ای بر \(D\) حاکم‌اند؟ این تعریف باید چه الزاماتی را برآورده کند؟

پیش از پرداختن به این پرسش‌ها، به تمایزی اشاره کنیم که در کتاب‌های منطق مشخص نشده است، اما برای اندیشیدن درباره تعریف‌ها سودمند است. در یک نوع تعریف ــ که آن را تعریف همگن (Homogeneous Definition) می‌نامیم ــ اصطلاح تعریف‌شده و معرَّف به یک مقوله منطقی تعلق دارند. بنابراین، یک اصطلاح مفرد از طریق اصطلاحی مفرد، یک اصطلاح عام از طریق اصطلاحی عام، یک جمله از طریق جمله‌ای دیگر و به همین ترتیب تعریف می‌شود. می‌گوییم یک تعریف همگن منظم (Regular) است اگر و تنها اگر معرَّف آن با اصطلاح تعریف‌شده یکسان باشد. در اینجا چند نمونه از تعریف‌های همگن منظم را می‌آوریم:

(۳)
\[ > \begin{aligned} > 1 : 1 &=_{\mathrm{df}} \text{the successor of } 0 \\ > \text{man} : \text{man} &=_{\mathrm{df}} \text{rational animal}, \notag \\ > \text{The True} : \text{The True} &=\_{\mathrm{df}} \text{everything is identical to itself}. \notag > \end{aligned} > \]

* توجه کنید که «The True» در تعریف بالا به مقوله جمله تعلق دارد، نه به مقوله اصطلاح مفرد.

گاهی گفته می‌شود که تعریف‌ها صرفاً دستورالعمل‌هایی برای اختصارند. برای مثال، آلفرد نورث وایتهد و برتراند راسل درباره تعریف‌ها ــ به‌ویژه تعریف‌های به‌کاررفته در اصول ریاضیات (Principia Mathematica) ــ می‌گویند که آنها «به معنای دقیق کلمه، صرفاً تسهیلاتی(conveniences) حروف‌چینانه(typographical ) هستند» (۱۹۲۵، ص. ۱۱). این دیدگاه تنها در مورد تعریف‌های همگن منظم پذیرفتنی به نظر می‌رسد؛ هرچند حتی در همین مورد نیز واقعاً قابل دفاع نیست. (اظهارنظرهای خود وایتهد و راسل آشکارا نشان می‌دهند که تعریف‌های آنها چیزی فراتر از «تسهیلات حروف‌چینانه» صرف هستند.[3]) این تصور که تعریف‌ها صرفاً اختصارهایی هستند، به‌هیچ‌وجه درباره نوع دوم تعریف‌ها پذیرفتنی نیست؛ نوعی که اکنون به آن می‌پردازیم.

در نوع دوم تعریف ــ که آن را تعریف ناهمگن (Heterogeneous Definition) می‌نامیم ــ اصطلاح تعریف‌شده و معرَّف به مقوله‌های منطقی متفاوتی تعلق دارند. برای مثال، یک اصطلاح عام (مانند «انسان») ممکن است با استفاده از یک معرَّف جمله‌ای (مانند «\(x\) انسان است») تعریف شود. نمونه دیگر اینکه یک اصطلاح مفرد (مانند «۱») ممکن است با استفاده از یک محمول (مانند «با ۱ یکسان است») تعریف شود. تعریف‌های ناهمگن بسیار رایج‌تر از تعریف‌های همگن هستند. برای مثال، در زبان‌های متعارف مرتبه اول (First-Order Languages)، تعریف یک محمول یک‌موضعی مانند \(G\) از طریق یک تعریف همگن بی‌فایده است. این زبان‌ها هیچ ابزاری برای ساخت محمول‌های مرکب ندارند؛ ازاین‌رو، معرِّفِ یک تعریف همگن برای \(G\) ناگزیر باید اتمی باشد. اما در یک تعریف ناهمگن، معرِّف به‌آسانی می‌تواند مرکب باشد؛ برای مثال:

(۴)
\[ > Gx =\_{\mathrm{df}} x>3 \ \&\ x<10. > \]

اگر زبان ابزاری برای اسمی‌سازی(nominalization) محمول‌ها داشته باشد ــ برای مثال، یک عملگر انتزاع کلاسی (Class Abstraction Operator) ــ می‌توانیم نوع متفاوتی از تعریف ناهمگن برای \(G\) ارائه کنیم:

(۵)
\[ > \text{the class of }G{s} > =\_{\mathrm{df}} > \text{the class of numbers between 3 and 10}. > \]

توجه کنید که یک تعریف ناهمگن مانند (۴) صرفاً یک اختصار نیست. نخست اینکه ما در این تعریف، تعبیر \(x\) را متغیری واقعی در نظر می‌گیریم که امکان جایگزینی و مقیدسازی (Binding) دارد. بنابراین، معرَّف \(Gx\) صرفاً اختصاری برای معرِّف نیست. افزون بر این، اگر چنین تعریف‌هایی اختصار بودند، باید مشمول این الزام می‌شدند که معرَّف کوتاه‌تر از معرِّف باشد؛ اما چنین الزامی وجود ندارد. از سوی دیگر، الزامات واقعی درباره تعریف‌ها در اینجا معنای چندانی نداشتند. وضع زیر یک تعریف مشروع(legitimate) نیست:

(۶)
\[ > Gx =\_{\mathrm{df}} x>y \ \&\ x<10. > \]

اما اگر این وضع را صرفاً نوعی اختصار تلقی کنیم، هیچ امر نامشروعی در آن وجود ندارد. (در واقع، ریاضی‌دانان به‌طور معمول از اختصارهایی از این دست استفاده می‌کنند و متغیرهایی را که موقتاً مورد توجه نیستند، حذف می‌کنند.)

برخی تعریف‌های وضعی چیزی جز ابزارهایی برای ایجاد اختصار نیستند (برای مثال، تعریف‌هایی که بر حذف پرانتزها در فرمول‌ها حاکم‌اند؛ بنگرید به Church 1956, §11). بااین‌حال، بسیاری از تعریف‌های وضعی از این نوع نیستند؛ آنها عناصر معناداری را وارد گفتمان ما می‌کنند. بنابراین، تعریف (۴)، محمول یک‌موضعی معناداری به نام \(G\) پدید می‌آورد: \(G\) به‌موجب تعریف (۴)، بیانگر مفهومی خاص است. در مقابل، بر اساس وضع (۶)، \(G\) محمولی معنادار نیست و بیانگر هیچ نوع مفهومی نیست. اما منشأ این تفاوت چیست؟ چرا (۴) مشروع است، اما (۶) مشروع نیست؟ به‌طور کلی‌تر، یک تعریف چه زمانی مشروع است؟ معرِّف باید چه الزاماتی را برآورده کند؟ و از آن گذشته، معرَّف چطور؟ آیا معرَّف باید، برای مثال، مانند موارد (۳) و (۴)، اتمی باشد؟ اگر چنین نیست، چه محدودیت‌هایی (در صورت وجود) بر معرَّف حاکم‌اند؟

دو معیار

پذیرفتنی به نظر می‌رسد که هر پاسخی به این پرسش‌ها باید دو معیار(Criteria) را رعایت کند.[4] نخست اینکه یک تعریف وضعی نباید ما را قادر سازد که دعاوی اساساً جدیدی را اثبات کنیم؛ این معیار را معیار محافظه‌کاری (Conservativeness Criterion) می‌نامیم. نباید بتوانیم صرفاً از طریق یک وضع قراردادی، امور جدیدی را درباره، برای مثال، ماه اثبات کنیم. البته، اگر این معیار به‌طور دقیق صورت‌بندی نشود، در معرض مثال‌های نقض بدیهی قرار می‌گیرد؛ زیرا واردکردن یک تعریف، برخی واقعیت‌ها را به‌طور مادی تحت تأثیر قرار می‌دهد. بااین‌حال، می‌توان این معیار را به‌نحوی دقیق و قابل دفاع صورت‌بندی کرد و به‌زودی برخی از راه‌های انجام این کار را خواهیم دید.

دوم اینکه تعریف باید کاربرد تعبیر تعریف‌شده را تثبیت کند؛ این معیار را معیار کاربرد (Use Criterion) می‌نامیم. این معیار پذیرفتنی است؛ زیرا برای هدایت ما در کاربرد \(X\)، تنها تعریف در دسترس است و هیچ چیز دیگری چنین نقشی ندارد. بااین‌حال، در اینجا پیچیدگی‌هایی وجود دارد. چه چیزی کاربرد \(X\) به شمار می‌آید؟ آیا مواردی که در حوزه عملگرهای گفتن(Say) و دانستن (Know) قرار دارند نیز مشمول این معیار می‌شوند؟ درباره موارد وقوع \(X\) در بافت‌های نقل‌قولی چطور؟ و مواردی که درون واژه‌ها قرار دارند، مانند واژه «Xenophanes»، چه حکمی دارند؟ روشن است که پاسخ پرسش اخیر باید «خیر» باشد. اما پاسخ پرسش‌های پیشین چندان روشن نیست.

پیچیدگی دیگری نیز وجود دارد: حتی اگر بتوانیم به نحوی موارد وقوع واقعی \(X\) را از سایر موارد متمایز کنیم، ممکن است برخی از این موارد وقوع به‌درستی از شمول تعریف خارج شوند. برای مثال، ممکن است یک تعریف از خارج‌قسمت، برخی موارد کاربرد این اصطلاح را تعریف‌نشده باقی بگذارد (برای مثال، در مواردی که تقسیم بر صفر صورت می‌گیرد). دیدگاه متعارف این است که چنین تعریف‌هایی را نامشروع بدانیم؛ اما در اینجا باید این دیدگاه متعارف را به چالش کشید. بااین‌حال، این چالش را به فرصتی دیگر واگذار می‌کنیم و از طریق ایده‌آل‌سازی، از این پیچیدگی‌ها عبور می‌کنیم. خود را به زبان‌های پایه‌ای محدود می‌کنیم که ساختار منطقی مشخصی دارند (برای مثال، یک زبان مرتبه اول) و هیچ موردی از اصطلاح تعریف‌شده \(X\) در آنها وجود ندارد. همچنین، خود را به تعریف‌هایی محدود می‌کنیم که هیچ محدودیتی بر موارد کاربرد مشروع \(X\) اعمال نمی‌کنند. در این صورت، معیار کاربرد اقتضا می‌کند که تعریف، کاربرد همه تعبیرهای زبان گسترش‌یافته‌ای را که \(X\) در آنها به کار رفته است، تثبیت کند.

صورت‌بندی دیگری از معیار کاربرد چنین است: تعریف باید معنای معرَّف را تثبیت کند. این صورت‌بندی جدید، از قطعیت کمتری برخوردار است و مناقشه‌برانگیزتر است؛ زیرا بر مفهوم «معنا» (Meaning) تکیه دارد که مفهومی مبهم و از نظر نظری مناقشه‌برانگیز است.

توجه کنید که این دو معیار بر همه تعریف‌های وضعی حاکم‌اند، صرف‌نظر از اینکه تعریف‌ها منفرد باشند یا متعدد، و نیز صرف‌نظر از اینکه صورت (۲) را داشته باشند یا نه.

مبانی تقریر سنتی

تقریر سنتی از تعریف‌ها بر سه ایده استوار است. ایده نخست این است که تعریف‌ها این‌همانی‌های تعمیم‌یافته (Generalized Identities) هستند؛ ایده دوم، تقدم جمله‌ای (Primacy of the Sentential) است؛ و ایده سوم، تقلیل (Reduction) است.

ایده نخست ــ یعنی اینکه تعریف‌ها این‌همانی‌های تعمیم‌یافته هستند ــ قواعد استنتاجی تقریر سنتی درباره تعریف‌ها را توجیه می‌کند. این قواعد را به‌صورت ساده‌شده می‌توان چنین بیان کرد:

هر مورد وقوع معرَّف را می‌توان با یک مورد وقوع معرِّف جایگزین کرد (قاعده حذف تعمیم‌یافته معرَّف یا Generalized Definiendum Elimination).
هر مورد وقوع معرِّف را می‌توان با یک مورد وقوع معرَّف جایگزین کرد (قاعده معرفی تعمیم‌یافته معرَّف یا Generalized Definiendum Introduction).

ایده دوم ــ یعنی تقدم جمله‌ای ــ ریشه در این اندیشه دارد که کاربردهای بنیادی یک اصطلاح در گزاره‌سازی و استدلال تحقق می‌یابند: اگر کاربرد یک اصطلاح تعریف‌شده را در گزاره‌سازی و استدلال بفهمیم، آن اصطلاح را به‌طور کامل درک کرده‌ایم. بااین‌حال، در استدلال و گزاره‌سازی، این امر جمله‌ای است که تقدم دارد. بنابراین، بر اساس ایده دوم، برای توضیح کاربرد یک اصطلاح تعریف‌شده \(X\)، لازم و کافی است کاربرد عناصر جمله‌ای‌ای را توضیح دهیم که حاوی \(X\) هستند. (منظور از عناصر جمله‌ای در اینجا، جمله‌ها و امور جمله‌مانندی است که متغیرهای آزاد دارند؛ برای مثال، معرِّفِ تعریف (۴). از این پس، این عناصر را فرمول (Formula) می‌نامیم.) مسائل و پرسش‌هایی که ایده دوم مطرح می‌کند، بی‌تردید گسترده و مهم‌اند؛ اما نمی‌توان در یک بررسی اجمالی و کوتاه به آنها پرداخت. بنابراین، این ایده را صرفاً به‌عنوان اصلی مفروض می‌پذیریم.

ایده سوم ــ یعنی تقلیل ــ عبارت است از اینکه کاربرد یک فرمول \(A\) که حاوی اصطلاح تعریف‌شده است، از طریق تقلیل \(A\) به فرمولی در زبان پایه توضیح داده می‌شود. این ایده، هنگامی که با تقدم جمله‌ای ترکیب شود، به صورت نیرومندی از معیار کاربرد می‌انجامد که آن را معیار حذف‌پذیری (Eliminability Criterion) می‌نامیم: تعریف باید هر فرمول حاوی اصطلاح تعریف‌شده را به فرمولی در زبان پایه تقلیل دهد؛ یعنی به فرمولی که از اصطلاح تعریف‌شده عاری باشد. حذف‌پذیری، مدعای متمایزکننده تقریر سنتی است و چنان‌که در ادامه خواهیم دید، می‌توان آن را به چالش کشید.

توجه کنید که تقریر سنتی مستلزم تقلیل همه تعبیرهای زبان گسترش‌یافته نیست؛ بلکه صرفاً تقلیل فرمول‌ها را لازم می‌داند. برای مثال، تعریف یک محمول \(G\) لزوماً نباید راهی برای تقلیل \(G\)، به‌صورت منفرد و جدا از بافت، به یک محمول در زبان پایه فراهم کند. بنابراین، تقریر سنتی با این اندیشه سازگار است که یک تعریف وضعی می‌تواند منبع مفهومی جدیدی به زبان بیفزاید؛ زیرا در زبان پایه هیچ چیزی وجود ندارد که مفهوم محمولی‌ای را بیان کند که \(G\) در زبان گسترش‌یافته بیانگر آن است. البته این سخن به معنای انکار این نیست که در زبان گسترش‌یافته هیچ گزاره جدیدی ــ دست‌کم به معنای شرط صدق (Truth-Condition) ــ بیان نمی‌شود.

محافظه‌کاری و حذف‌پذیری

اکنون ببینیم چگونه می‌توان محافظه‌کاری (Conservativeness) و حذف‌پذیری (Eliminability) را به‌صورت دقیق صورت‌بندی کرد. ابتدا زبان‌هایی را در نظر بگیریم که دارای یک نظام برهان (proof system) از نوع متعارف و دقیق هستند. فرض کنیم زبان پایه \(L\) یکی از این زبان‌ها باشد. نظام برهان \(L\) ممکن است کلاسیک، سه‌ارزشی، موجهاتی، ربطی یا نظام دیگری باشد؛ همچنین ممکن است شامل برخی اصول موضوعه غیربه‌منطقی باشد یا نباشد. تنها چیزی که فرض می‌کنیم این است که مفاهیم «اثبات‌پذیر در \(L\)» و «معادلِ اثبات‌پذیر در \(L\)» در اختیار ما باشند؛ همچنین مفاهیم «اثبات‌پذیر در \(L^+\)» و «معادلِ اثبات‌پذیر در \(L^+\)» را نیز در اختیار داشته باشیم که از افزودن تعریف \(D\) و قواعد منطقی حاکم بر تعریف‌ها به نظام برهان \(L\) حاصل می‌شوند. اکنون می‌توان معیار محافظه‌کاری را به‌صورت دقیق چنین بیان کرد:

معیار محافظه‌کاری(صورت‌بندی نحوی): هر فرمولی از \(L\) که در \(L^+\) اثبات‌پذیر باشد، در \(L\) نیز اثبات‌پذیر است. یعنی هر فرمولی از \(L\) که با استفاده از تعریف \(D\) اثبات‌پذیر باشد، بدون استفاده از \(D\) نیز اثبات‌پذیر است: تعریف، ما را قادر نمی‌سازد چیزی جدید در \(L\) اثبات کنیم. معیار حذف‌پذیری را نیز می‌توان چنین به‌صورت دقیق بیان کرد:
معیار حذف‌پذیری(صورت‌بندی نحوی): برای هر فرمول \(A\) از \(L^+\)، فرمولی از \(L\) وجود دارد که در \(L^+\) معادلِ اثبات‌پذیر با \(A\) باشد.

در عرف رایج، صورت‌بندی معیارهای محافظه‌کاری و حذف‌پذیری به منطق‌دان لهستانی، اس. لِشنیفسکی (S. Leśniewski)، نسبت داده می‌شود؛ اما این انتساب نادرست است. برای بحث و ارجاعات بیشتر، نک. Dudman 1973, Hodges 2008, Urbaniak and Hämäri 2012.)[5]

اکنون بیایید برای \(L\) یک معناشناسی نظریه‌مدلی (model-theoretic semantics) در نظر بگیریم. به این معنا که کلاسی از تفسیرها (interpretations) را به \(L\) اختصاص دهیم و مفاهیم «معتبر در \(L\) در تفسیر \(M\)» (که معادل است با: «صادق در \(L\) در \(M\)») و «معادلِ معنایی در \(L\) نسبت به \(M\)» را در اختیار داشته باشیم. مفاهیم «معتبر در \(L^+\) در \(M^+\)» و «معادلِ معنایی در \(L^+\) نسبت به \(M^+\)» نیز از افزودن معناشناسی تعریف \(D\) به معناشناسی \(L\) حاصل می‌شوند. اکنون می‌توان معیارهای محافظه‌کاری و حذف‌پذیری را به‌صورت دقیق چنین بیان کرد:

معیار محافظه‌کاری (صورت‌بندی معناشناختی): برای هر فرمول \(A\) از \(L\)، اگر \(A\) در \(L^+\) در همه تفسیرهای \(M^+\) معتبر باشد، آن‌گاه \(A\) در \(L\) نیز در همه تفسیرهای \(M\) معتبر است.
معیار حذف‌پذیری (صورت‌بندی معناشناختی): برای هر فرمول \(A\) از \(L^+\)، فرمولی \(B\) از \(L\) وجود دارد، به‌طوری‌که نسبت به همه تفسیرهای \(M^+\)، فرمول \(B\) در \(L^+\) از نظر معنایی با \(A\) معادل باشد.

صورت‌بندی‌های نحوی و معناشناختی این دو معیار آشکارا با یکدیگر موازی‌اند. بااین‌حال، حتی اگر فرض کنیم قضایای تمامیت قوی (strong completeness theorems) برای \(L\) و \(L^+\) برقرار باشند، لزوماً این دو صورت‌بندی معادل یکدیگر نیستند؛ این امر به معناشناسی‌ای بستگی دارد که برای تعریف \(D\) در نظر می‌گیریم. در واقع، در هر یک از دو چارچوب نحوی و معناشناختی، چندین صورت‌بندی متفاوت و نامعادل از این دو معیار امکان‌پذیر است.

مفهوم دیگری از محافظه‌کاری معناشناختی وجود دارد که سخت‌گیرانه‌تر است و در ادبیات مربوط به صدق برجستگی داشته است (Halbach 2014, p. 69). می‌گوییم یک تفسیر \(M^+\) از \(L^+\)، بسطی از یک تفسیر \(M\) است، اگر و تنها اگر \(M\) و \(M^+\) دامنه(های) یکسانی را به سور(های) موجود در \(L\) اختصاص دهند و ارزش‌های معنایی یکسانی را به ثابت‌های غیربه‌منطقی موجود در \(L\) نسبت دهند. در این صورت، داریم:

معیار محافظه‌کاری (صورت‌بندی معناشناختی قوی): هر تفسیر \(M\) از \(L\) را می‌توان به تفسیری \(M^+\) از \(L^+\) بسط داد. به بیان دیگر، یک تعریف از نظر معناشناختی قویاً محافظه‌کار است، اگر هیچ‌یک از تفسیرهایی را که پیش‌تر در دسترس زبان اصلی بوده‌اند، کنار نگذارد.

توجه کنید که برآورده‌شدن معیارهای محافظه‌کاری و حذف‌پذیری، چه در صورت‌بندی معناشناختی و چه در صورت‌بندی نحوی آن‌ها، خاصیتی مطلق برای یک تعریف نیست؛ برآورده‌شدن این معیارها نسبت به زبان پایه سنجیده می‌شود. زبان‌های پایه متفاوت ممکن است با نظام‌های برهان متفاوت و کلاس‌های تفسیر متفاوتی همراه باشند. ازاین‌رو، ممکن است یک تعریف، هنگامی که به زبانی افزوده می‌شود، هر دو معیار را برآورده کند، اما با افزوده‌شدن به زبانی دیگر از برآورده‌کردن آن‌ها بازبماند. برای بحث بیشتر درباره این معیارها، نک. Suppes 1957 و Belnap 1993.

تعریف‌ها در صورت معیار

برای روشن‌تر شدن بحث، زبان پایه \(L\) را یک زبان مرتبه اول کلاسیک با رابطه این‌همانی در نظر بگیریم. نظام برهان \(L\) ممکن است شامل برخی اصول موضوعه غیربه‌منطقی \(T\) باشد؛ در این صورت، تفسیرهای \(L\) همان مدل‌های کلاسیک \(T\) خواهند بود. همچون قبل، \(L^+\) زبان گسترش‌یافته‌ای است که با افزودن تعریف \(D\) برای یک ثابت غیربه‌منطقی \(X\) به \(L\) حاصل می‌شود؛ بنابراین، \(X\) ممکن است یک نام، یک محمول یا یک نماد تابعی باشد. دو تعریف را معادل می‌نامیم، اگر و تنها اگر قضایای یکسانی را در زبان گسترش‌یافته به دست دهند. در این صورت، می‌توان نشان داد که اگر \(D\) معیارهای محافظه‌کاری و حذف‌پذیری را برآورده کند، با تعریفی در صورت معیار (normal form) که در ادامه مشخص می‌شود، معادل است.[6] ازآنجاکه تعریف‌های دارای صورت معیار مقتضیات محافظه‌کاری و حذف‌پذیری را برآورده می‌کنند، تقریر سنتی نتیجه می‌دهد که اگر تعریف‌ها را ملزم کنیم صورت معیار داشته باشند، هیچ امر اساسی‌ای را از دست نخواهیم داد.

صورت معیار تعریف‌ها را می‌توان به شکل زیر مشخص کرد. تعریف نام‌ها \(a\)، محمول‌های \(n\)-موضعی \(H\) و نمادهای تابعی \(n\)-موضعی \(f\)، به‌ترتیب، باید یکی از صورت‌های زیر را داشته باشند:

\[ \tag{7} a = x =\_{\mathrm{df}} \psi(x), \]\[ \tag{8} H(x*1,\ldots,x_n) =*{\mathrm{df}} \varphi(x_1,\ldots,x_n), \]\[ \tag{9} f(x*1,\ldots,x_n)=y =*{\mathrm{df}} \chi(x_1,\ldots,x_n,y), \]

که در آن متغیرهای \(x_1,\ldots,x_n,y\) همگی متمایزند و معرِّف در هر مورد، شرایطی را برآورده می‌کند که می‌توان آن‌ها را به دو بخش عمومی و اختصاصی تقسیم کرد.[7] شرط عمومی معرِّف در هر سه مورد یکسان است: معرِّف نباید شامل اصطلاح تعریف‌شده یا هیچ متغیر آزادی غیر از متغیرهای موجود در معرَّف باشد. شرایط عمومی هنگامی نیز که تقریر سنتی تعریف بر منطق‌های غیرکلاسیک (برای مثال، منطق‌های چندارزشی و موجهاتی) اعمال می‌شود، ثابت می‌مانند. شرایط اختصاصی متغیرترند.

در منطق کلاسیک، شرط اختصاصی معرِّف \(\psi(x)\) در (7) این است که شرط وجود و یگانگی (existence and uniqueness condition) را برآورده کند: باید اثبات‌پذیر باشد که چیزی وجود دارد که \(\psi(x)\) را برآورده می‌کند و حداکثر یک چیز چنین است.[8] برای (8) هیچ شرط اختصاصی‌ای وجود ندارد؛ اما شرط (9) با شرط (7) موازی است. باید ادعای وجود و یگانگی برقرار باشد: بستار کلی فرمول زیر باید اثبات‌پذیر باشد.[9]

\[ \forall x_1\cdots\forall x_n \left[ \exists y\,\chi(x_1,\ldots,x_n,y) \;\land\; \forall u\forall v \left( \chi(x_1,\ldots,x_n,u) \land \chi(x_1,\ldots,x_n,v) \rightarrow u=v \right) \right]. \]

در منطقی که نام‌های تهی‌مصداق (vacuous names) را مجاز می‌داند، شرط اختصاصی معرِّف در (7) ضعیف‌تر خواهد بود: شرط وجود حذف می‌شود. در مقابل، در منطق موجهاتی‌ای که نام‌ها را ملزم می‌کند غیرتهی‌مصداق و صلب (rigid) باشند، شرط اختصاصی تقویت می‌شود: نه‌تنها باید نشان داده شود که وجود و یگانگی ضرورتاً برقرار است، بلکه باید نشان داده شود که معرِّف در سراسر جهان‌های ممکن، یک شیء و همان شیء را برآورده می‌کند.

تعریف‌هایی که با (7) تا (9) مطابقت دارند، ناهمگن (heterogeneous) هستند؛ معرَّف جمله‌وار است، اما اصطلاح تعریف‌شده چنین نیست. یکی از سرچشمه‌های شرایط اختصاصی در (7) و (9)، همین ناهمگنی آن‌هاست. شرایط اختصاصی لازم‌اند تا اطمینان حاصل شود که معرِّف، با وجود آنکه از مقوله منطقی اصطلاح تعریف‌شده نیست، رفتار منطقی مناسب را به آن منتقل می‌کند. بنابراین، این شرایط تضمین می‌کنند که منطق زبان گسترش‌یافته همان منطق زبان پایه باقی بماند. به همین دلیل است که شرایط اختصاصی صورت‌های معیار ممکن است با توجه به منطق زبان پایه تغییر کنند. توجه کنید که صرف‌نظر از اینکه این منطق چه باشد، برای تعریف‌های همگن منظم (regular homogeneous definitions) هیچ شرط اختصاصی‌ای لازم نیست.

تقریر سنتی، قواعد منطقی ساده‌ای را برای تعریف‌ها و نیز معناشناسی ساده‌ای را برای زبان گسترش‌یافته امکان‌پذیر می‌سازد. فرض کنیم تعریف \(D\) دارای معرَّفی جمله‌وار باشد. (در منطق کلاسیک، همه تعریف‌ها را می‌توان به‌آسانی به‌گونه‌ای تبدیل کرد که این شرط را برآورده کنند.) فرض کنیم \(D\) به‌صورت زیر باشد:

\[ \tag{10} \varphi(x*1,\ldots,x_n) =*{\mathrm{df}} \psi(x_1,\ldots,x_n), \]

که در آن \(x_1,\ldots,x_n\) همه متغیرهای آزادی هستند که در \(\varphi\) یا \(\psi\) حضور دارند. همچنین فرض کنیم \(\varphi(t_1,\ldots,t_n)\) و \(\psi(t_1,\ldots,t_n)\)، به‌ترتیب، از جای‌گذاری هم‌زمان اصطلاحات \(t_1,\ldots,t_n\) به جای \(x_1,\ldots,x_n\) در \(\varphi(x_1,\ldots,x_n)\) و \(\psi(x_1,\ldots,x_n)\) حاصل شوند؛ به‌نحوی‌که در صورت لزوم، متغیرهای مقید تغییر داده شوند. در این صورت، قواعد استنتاج حاکم بر \(D\) صرفاً عبارت‌اند از:

\[ \frac{\varphi(t_1,\ldots,t_n)} {\psi(t_1,\ldots,t_n)} \qquad \text{حذف معرَّف (Definiendum Elimination)} \]\[ \frac{\psi(t_1,\ldots,t_n)} {\varphi(t_1,\ldots,t_n)} \qquad \text{معرفی معرَّف (Definiendum Introduction)} \]

معناشناسی زبان گسترش‌یافته نیز به همین اندازه سرراست است. برای مثال، فرض کنیم \(D\) تعریفی برای یک نام \(a\) باشد و فرض کنیم هنگامی که به صورت معیار درآورده می‌شود، با (7) معادل باشد. در این صورت، هر تفسیر کلاسیک \(M\) از \(L\) به یک تفسیر کلاسیک یکتای \(M^+\) از زبان گسترش‌یافته \(L^+\) بسط می‌یابد. مرجع نام \(a\) در \(M^+\)، همان شیء یکتایی است که \(\psi(x)\) را در \(M\) برآورده می‌کند؛ شرایط مربوط به \(\psi(x)\) تضمین می‌کنند که چنین شیئی وجود دارد. معناشناسی محمول‌ها و نمادهای تابعی تعریف‌شده نیز مشابه است. در تقریر سنتی، منطق و معناشناسی تعریف‌ها در منطق‌های غیرکلاسیک نیز به شیوه‌ای موازی بررسی می‌شوند.

توجه کنید که نیروی استنتاجیِ افزودن تعریف (10) به زبان، همان نیروی افزودن بستار کلیِ عبارت زیر به‌عنوان یک اصل موضوعه است:

\[ \tag{11} \forall x_1\cdots\forall x_n \left( \varphi(x_1,\ldots,x_n) \leftrightarrow \psi(x_1,\ldots,x_n) \right). \]

بااین‌حال، این شباهت در رفتار منطقی (10) و (11) نباید تفاوت‌های عظیم میان دوشرطی («\(\leftrightarrow\)») و هم‌ارزی تعریفی («\(=_{\mathrm{df}}\)») را از نظر پنهان کند. اولی یک پیوندگر جمله‌وار است، اما دومی از مقوله‌های منطقی فراتر می‌رود: نه‌فقط فرمول‌ها، بلکه محمول‌ها، نام‌ها و عناصر متعلق به مقوله‌های منطقی دیگر نیز می‌توانند در دو سوی «\(=_{\mathrm{df}}\)» قرار گیرند. افزون بر این، دوشرطی را می‌توان تکرار کرد؛ برای مثال، \(((\varphi\leftrightarrow\psi)\leftrightarrow\chi)\)، اما هم‌ارزی تعریفی را نمی‌توان به این صورت تکرار کرد. سرانجام، می‌توان اصطلاحی را با یک تعریف وضعی در زبانی پایه وارد کرد که منابع منطقی آن، برای مثال، به عطف و فصل کلاسیک محدود شده باشند. این کار کاملاً امکان‌پذیر است، هرچند دوشرطی در آن زبان بیان‌پذیر نباشد. در چنین مواردی، نقش استنتاجی تعریف وضعی در هیچ فرمولی از زبان گسترش‌یافته بازتاب نمی‌یابد.

نباید چنین پنداشت که تقریر سنتی تعریف‌ها، تعریف‌ها را ملزم می‌کند که صورت معیار داشته باشند. تنها الزاماتی که این تقریر تحمیل می‌کند عبارت‌اند از: (۱) معرَّف باید شامل اصطلاح تعریف‌شده باشد؛ (۲) معرَّف و معرِّف باید به یک مقوله منطقی تعلق داشته باشند؛ و (۳) تعریف باید معیارهای محافظه‌کاری و حذف‌پذیری را برآورده کند. تا زمانی که این الزامات برآورده شوند، هیچ محدودیت دیگری وجود ندارد. معرَّف، همانند معرِّف، می‌تواند پیچیده باشد؛ و معرِّف نیز، همانند معرَّف، می‌تواند شامل اصطلاح تعریف‌شده باشد. بنابراین، برای مثال، از نظر صوری هیچ اشکالی ندارد اگر معرَّفِ تعریفِ عبارت تابعیِ «تعدادِ» (the number of)، فرمول «تعدادِ \(F\)ها برابر با تعدادِ \(G\)هاست» باشد. نقش صورت‌های معیار صرفاً فراهم‌کردن راهی آسان برای اطمینان از برآورده‌شدن معیارهای محافظه‌کاری و حذف‌پذیری در تعریف‌هاست؛ این صورت‌ها تنها قالب مشروع برای واردکردن وضعی یک اصطلاح نیستند. بنابراین، دلیل اینکه (4) تعریفی مشروع است، اما (6) چنین نیست، این نیست که (4) در صورت معیار قرار دارد و (6) ندارد.

\[ \tag{4} Gx =\_{\mathrm{df}} x>3 \land x<10. \]\[ \tag{6} Gx =\_{\mathrm{df}} x>y \land x<10. \]

دلیل این است که (4) دو معیار را رعایت می‌کند، اما (6) چنین نمی‌کند. (در اینجا فرض شده است که زبان پایه شامل حساب معمولی است؛ با این فرض، تعریف دوم مستلزم تناقض است.) دو تعریف زیر نیز در صورت معیار نیستند:

\[ \tag{12} Gx =\_{\mathrm{df}} (x>3 \land x<10)\land y=y. \]\[ \tag{13} Gx =\_{\mathrm{df}} [x=0\land(G0\lor G1)] \lor [x=1\land(\sim G0\land\sim G1)]. \]

اما بر اساس تقریر سنتی، هر دو باید تعریف‌هایی مشروع به شمار آیند؛ زیرا معیارهای محافظه‌کاری و حذف‌پذیری را برآورده می‌کنند. در نتیجه، این دو تعریف را می‌توان به صورت معیار درآورد. تعریف (12) آشکارا با (4) معادل است و تعریف (13) با (14) معادل است:

\[ \tag{14} Gx =\_{\mathrm{df}} x=0. \]

توجه کنید که معرِّفِ (13) از نظر منطقی با هیچ فرمولی که فاقد \(G\) باشد معادل نیست. بااین‌حال، این تعریف دارای یک صورت معیار است.

به همین ترتیب، تقریر سنتی با تعریف‌های بازگشتی (recursive) (که با عنوان تعریف‌های استقرایی (inductive) نیز شناخته می‌شوند)، از قبیل تعریف‌هایی که در منطق و ریاضیات یافت می‌شوند، کاملاً سازگار است. برای مثال، در حساب پئانو (Peano Arithmetic)، می‌توان توان‌رسانی را با استفاده از معادلات زیر تعریف کرد:

\[ \tag{15} m^0=1, \qquad m^{n+1}=m^n\cdot m. \]

در اینجا، معادله نخست ــ که بند پایه (base clause) نامیده می‌شود ــ مقدار تابع را هنگامی که توان برابر با صفر است، تعریف می‌کند. بند دوم ــ که بند بازگشتی (recursive clause) نامیده می‌شود ــ از مقدار تابع در \(n\) استفاده می‌کند تا مقدار آن را در \(n+1\) تعریف کند. بر اساس تقریر سنتی، این کار کاملاً مشروع است؛ زیرا قضیه‌ای در حساب پئانو نشان می‌دهد که تعریف فوق با تعریفی در صورت معیار معادل است.[10] تعریف‌های بازگشتی در صورت‌بندی خود دوری‌اند و در واقع، همین دوری است که آن‌ها را روشن و گویا می‌سازد. اما این دوری کاملاً ظاهری است؛ چنان‌که وجود صورت‌های معیار نشان می‌دهد. برای بحث درباره تعریف‌های دوری، به بخش بعد مراجعه کنید.

تعریف‌های شرطی

بخشی از رویه معمول ما این است که گاهی اصطلاحات را نه به‌صورت مطلق، بلکه به‌صورت شرطی تعریف می‌کنیم. گاهی تعریف را نه به‌طور بی‌قیدوشرط، بلکه در محدوده یک شرط می‌پذیریم؛ شرطی که ممکن است ناگفته باقی بماند یا به‌صراحت بیان شود. برای مثال، ممکن است با وضع این تعریف که

\[ \begin{aligned} F(x,y) &=\_{\mathrm{df}} \exists u\, \exists v\, ( \notag \\ &\qquad u \text{ is a parent of } x \notag \\ &\qquad \mathbin{\&} \ v \text{ is a grand parent of } y \notag \\ &\qquad \mathbin{\&} \ u \text{ is a sibling of } v ), \tag{16} \end{aligned} \]

مقصود خود از مفهوم «پسرعمو یا دخترعموی یک‌بار فاصله‌دار» (first cousin once removed) را بیان کنیم؛ با این فرض ضمنی که دامنه متغیرها به انسان‌ها محدود است. برای مثالی دیگر، هنگام تعریف تقسیم، ممکن است صریحاً شرط کنیم که مقسوم‌علیه صفر نباشد. می‌توانیم چنین وضع کنیم که

\[ \begin{aligned} (y/x = z) &=\_{\mathrm{df}} (y = x \cdot z), \tag{17} \end{aligned} \]

اما با این قید که \(x \neq 0\).

این رویه ممکن است ناقض معیار حذف‌پذیری به نظر برسد؛ زیرا ظاهراً تعریف‌های شرطی تضمین نمی‌کنند که اصطلاحات تعریف‌شده در همه جمله‌ها حذف‌پذیر باشند. بنابراین، (16) به دلیل محدودیت ضمنی دامنه متغیرها، ما را قادر نمی‌سازد هم‌ارزیِ

\[ \exists x\, F(x, 2) \tag{18} \]

را با هیچ جمله‌ای که فاقد \(F\) باشد اثبات کنیم. به همین ترتیب، (17) نیز امکان حذف نماد تعریف‌شده را از

\[ \tag{19} 0/0 = 2. \]

فراهم نمی‌کند.

بااین‌حال، اگر در اینجا نقضی برای معیار حذف‌پذیری وجود داشته باشد، نقضی ظاهری است و به‌آسانی می‌توان آن را از یکی از دو راه اصلاح کرد. راه نخست ــ که بیش از همه با رویه‌های معمول ما سازگار است ــ این است که زبان‌های غنی‌شده‌ای را که از افزودن تعریف‌ها حاصل می‌شوند، به‌گونه‌ای در نظر بگیریم که جمله‌هایی مانند (18) و (19) را دربرنگیرند. زیرا هنگامی که تعریفی مانند (16) را وضع می‌کنیم، قصد نداریم درباره پسرعموها یا دخترعموهای یک‌بار فاصله‌دارِ اعداد سخن بگوییم؛ برعکس، می‌خواهیم همه این‌گونه سخن‌گفتن‌ها را نامناسب و غیرمجاز بدانیم. به همین ترتیب، با وضع (17)، می‌خواهیم سخن‌گفتن از تقسیم بر صفر را به‌عنوان کاربردی مشروع کنار بگذاریم. بنابراین، راه نخست آن است که بپذیریم تعریف شرطی‌ای مانند (16) و (17)، محدودیت‌هایی را بر زبان غنی‌شده تحمیل می‌کند و در نتیجه، هنگامی که زبان غنی‌شده به‌درستی تحدید شود، معیار حذف‌پذیری را رعایت می‌کند. این ایده را می‌توان به‌صورت صوری، از طریق در نظر گرفتن تعریف‌های شرطی در قالب زبان‌هایی با سورگذاری نوعی (sortal quantification)، محقق ساخت.

راه دوم ــ که بیش از همه با رویه‌های صوری واقعی ما سازگار است ــ این است که کاربردهای اصطلاح تعریف‌شده را در مواردی که شرط مقدم برقرار نیست، مواردی بی‌تفاوت (don’t care cases) تلقی کنیم و درباره چنین کاربردهایی وضع مناسبی انجام دهیم. بنابراین، می‌توانیم وضع کنیم که هیچ چیزی جز انسان، پسرعمو یا دخترعموی یک‌بار فاصله‌دار ندارد؛ همچنین می‌توانیم وضع کنیم که حاصل تقسیم هر عدد بر صفر، صفر است. بدین‌ترتیب، می‌توانیم (17) را با عبارت زیر جایگزین کنیم:

\[ \begin{aligned} (y/x = z) &=\_{\mathrm{df}} [x \neq 0 \mathbin{\&} y = x \cdot z] \lor [x = 0 \mathbin{\&} z = 0]. \tag{20} \end{aligned} \]

تعریف‌های حاصل، معیار حذف‌پذیری را برآورده می‌کنند. راه دوم ما را ملزم می‌کند که در خواندن جمله‌های حاوی اصطلاحات تعریف‌شده دقت کنیم. برای مثال، جمله

\[ \begin{aligned} \exists x\, \exists y\, \exists z\, (x > y \mathbin{\&} x/z = y/z), \tag{21} \end{aligned} \]

اگرچه با تعریف تقسیم به‌صورت (20) صادق است، بیانگر حقیقتی ریاضیاتی و جالب‌توجه نیست، بلکه صرفاً محصول جانبیِ نحوه برخورد ما با موارد بی‌تفاوت است. با وجود این هزینه، ممکن است افزایش سادگی در مفهوم اثبات، در برخی زمینه‌ها، توجیه‌کننده گذار به تعریفی مانند (20) باشد.

برای دیدگاهی متفاوت درباره تعریف‌های شرطی، نک. Suppes 1957.

تعریف‌های ضمنی

دیدگاه پیش‌گفته به تقریر سنتی اجازه می‌دهد ایده‌هایی را نیز در چارچوب خود جای دهد که در نگاه نخست ممکن است ناسازگار با آن به نظر برسند. گاهی گفته می‌شود که می‌توان اصطلاح \(X\) را به‌صورت اصول موضوعه (axiomatically) وارد کرد؛ یعنی با وضع برخی جمله‌های زبان گسترش‌یافته \(L^+\) به‌عنوان اصول موضوعه. در این صورت گفته می‌شود که این اصول موضوعه، \(X\) را به‌طور ضمنی تعریف می‌کنند. این ایده به‌آسانی در تقریر سنتی جای می‌گیرد. فرض کنیم یک نظریه، مجموعه‌ای از جمله‌های زبان گسترش‌یافته \(L^+\) باشد. در این صورت، گفتن اینکه نظریه \(T^{\*}\) یک تعریف ضمنی (وضعی) (implicit (stipulative) definition) برای \(X\) است، به این معناست که \(X\) تابع تعریف زیر است:

\[ \varphi =\_{\mathrm{df}} \text{The True}, \]

که در آن \(\varphi\) عطف اعضای \(T^{_}\) است. (اگر \(T^{_}\) نامتناهی باشد، برای هر جمله \(\psi\) در \(T^{_}\)، وضعی به صورت فوق لازم خواهد بود.)[11] بر اساس تقریر سنتی، این تعریف مشروع است، مشروط بر اینکه معیارهای محافظه‌کاری و حذف‌پذیری را برآورده کند. اگر این معیارها را برآورده کند، \(T^{_}\) را مجاز (admissible) ــ برای تعریف \(X\) ــ می‌نامیم. بنابراین، تقریر سنتی این ایده را می‌پذیرد که نظریه‌ها می‌توانند اصطلاحات جدیدی را به‌صورت وضعی وارد کنند، اما مطالبه‌ای سخت‌گیرانه دارد: نظریه‌ها باید مجاز باشند.[12]

برای روشن‌تر شدن بحث، مورد خاص زبان‌های مرتبه اول کلاسیک را در نظر بگیریم. فرض کنیم زبان پایه \(L\) یکی از این زبان‌ها باشد و تفسیرهای آن مدل‌های مجموعه‌ای از جمله‌ها به نام \(T\) باشند. می‌گوییم

\[ T^{\*} \]

یک تعریف ضمنی معناشناختی (implicit semantic definition) برای \(X\) است، اگر و تنها اگر برای هر تفسیر \(M\) از \(L\)، یک مدل یکتای \(M^+\) از \(T^{\*}\) وجود داشته باشد که بسطی از \(M\) باشد.

در این صورت، از قضیه صورت معیار (normal form theorem)، بی‌درنگ نتیجه زیر به دست می‌آید:

اگر \(T^{_}\) مجاز باشد، آنگاه \(T^{_}\) یک تعریف ضمنی معناشناختی برای \(X\) است.

یعنی یک نظریه مجاز، ارزش معنایی اصطلاح تعریف‌شده را در هر تفسیر از زبان پایه تثبیت می‌کند. این ملاحظه، روشی طبیعی برای نشان‌دادن نامجازبودن یک نظریه فراهم می‌آورد:

روش پادوا (Padoa’s method). برای نشان‌دادن اینکه \(T^{_}\) مجاز نیست، کافی است دو مدل از \(T^{_}\) بسازیم که هر دو بسط یک تفسیر واحد از زبان پایه \(L\) باشند. (Padoa 1900)

در اینجا کاربردی ساده و از نظر فلسفی سودمند از روش پادوا ارائه می‌کنیم. فرض کنیم نظام برهان \(L\)، حساب پئانو (Peano Arithmetic) باشد و \(L\) با افزودن یک محمول یک‌موضعی \(Tr\) (برای «عدد گودلِ یک جمله صادق در \(L\)») گسترش یابد. فرض کنیم \(H\) نظریه‌ای باشد متشکل از همه جمله‌هایی که صورت زیر را دارند و «دوشرطی‌های تارسکی» (Tarski biconditionals) نامیده می‌شوند:

\[ Tr(s)\leftrightarrow\psi, \]

که در آن \(\psi\) جمله‌ای از \(L\) و \(s\) نام متعارف (canonical name) عدد گودلِ \(\psi\) است. روش پادوا نتیجه می‌دهد که \(H\) برای تعریف \(Tr\) مجاز نیست؛ زیرا \(H\) تفسیر \(Tr\) را در همه تفسیرهای \(L\) تثبیت نمی‌کند. به‌ویژه، این نظریه چنین کاری را در مدل استاندارد انجام نمی‌دهد؛ زیرا \(H\) هیچ قیدی بر رفتار \(Tr\) در مورد اعدادی که عدد گودلِ هیچ جمله‌ای نیستند، تحمیل نمی‌کند. (اگر شیوه کدگذاری به‌گونه‌ای باشد که هر عدد طبیعی، عدد گودلِ یک جمله باشد، آن‌گاه یک مدل غیراستاندارد از حساب پئانو مثال نقض لازم را فراهم می‌کند: چنین مدلی بی‌نهایت بسط دارد که همگی مدل‌های \(H\) هستند.) گونه‌ای دیگر از این استدلال نشان می‌دهد که نظریه صدق تارسکی، آن‌گونه که در \(L^+\) صورت‌بندی شده است، برای تعریف \(Tr\) مجاز نیست.

اما درباره عکس روش پادوا چه می‌توان گفت؟ فرض کنیم بتوانیم نشان دهیم که در هر تفسیر از زبان پایه، نظریه \(T^{_}\) ارزش معنایی یکتایی را برای اصطلاح تعریف‌شده تثبیت می‌کند. آیا می‌توان نتیجه گرفت که \(T^{_}\) مجاز است؟ پاسخ به این پرسش در برخی نظام‌های معناشناختی منفی و در برخی دیگر مثبت است. (در مقابل، روش پادوا تا زمانی که نظام معناشناختی بسیار تصنعی نباشد، کارآمد است.) عکس این قضیه، برای مثال، در زبان‌های مرتبه دوم کلاسیک برقرار نیست، اما در زبان‌های مرتبه اول برقرار است:

قضیه تعریف‌پذیری بِث (Beth’s Definability Theorem). اگر \(T^{_}\) یک تعریف ضمنی معناشناختی برای \(X\) در یک زبان مرتبه اول کلاسیک باشد، آنگاه \(T^{_}\) مجاز است.

توجه کنید که این قضیه حتی اگر \(T^{\*}\) مجموعه‌ای نامتناهی باشد نیز برقرار است. برای اثبات قضیه، نک. Boolos, Burgess, and Jeffrey 2002؛ همچنین نک. Beth 1953.

بنابراین، ایده تعریف ضمنی با تقریر سنتی در تعارض نیست. محل بروز تعارض، کاربردهای فلسفی این ایده است. ناکامی برنامه‌های تقلیل‌گرایانه سخت‌گیرانه در اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم، فیلسوفان را به بررسی گونه‌های سهل‌گیرانه‌تری از تقلیل‌گرایی سوق داد. برای مثال، تعریف فرگه از عدد ناسازگار از آب درآمد و بنابراین نتوانست از این مدعای منطق‌گرایانه پشتیبانی کند که اصول حساب تحلیلی‌اند. بااین‌حال، معلوم شد که اصول حساب را می‌توان بدون تعریف فرگه نیز استنتاج کرد. تنها چیزی که لازم است یکی از نتایج آن تعریف، یعنی اصل هیوم (Hume’s Principle)، است:

اصل هیوم (Hume’s Principle). تعداد \(F\)ها برابر با تعداد \(G\)هاست، اگر و تنها اگر تناظر یک‌به‌یک میان \(F\)ها و \(G\)ها وجود داشته باشد.

اگر اصل هیوم را به منطق اصول موضوعه مرتبه دوم بیفزاییم، نظریه‌ای سازگار به دست می‌آوریم که می‌توان حساب پئانوی مرتبه دوم را از آن به‌صورت تحلیلی استنتاج کرد. (عناصر اصلی این استدلال را می‌توان از پیش در Frege 1884 یافت.) یکی از مدعاهای محوری نئوفرگه‌گرایی (Neo-Fregeanism) این است که اصل هیوم، عبارت تابعیِ «تعدادِ» را به‌طور ضمنی تعریف می‌کند (نک. Hale and Wright 2001). اگر بتوان از این مدعا دفاع کرد، منطق‌گرایی درباره حساب را می‌توان حفظ کرد. بااین‌حال، مدعای نئوفرگه‌گرایانه با تقریر سنتی تعریف‌ها در تعارض است؛ زیرا اصل هیوم هر دو معیار محافظه‌کاری و حذف‌پذیری را نقض می‌کند. این اصل به شخص اجازه می‌دهد که برای هر \(n\) دلخواه اثبات کند دست‌کم \(n\) شیء وجود دارد.

مثالی دیگر: برنامه تقلیل‌گرایانه درباره مفاهیم نظری (برای مثال، مفاهیم فیزیک) در پی حل مسائل معرفت‌شناختی‌ای بود که این مفاهیم پدید می‌آورند. هدف این برنامه آن بود که جمله‌های نظری را به جمله‌های مشاهدتی (یا مجموعه‌هایی از جمله‌های مشاهدتی) تقلیل دهد. بااین‌حال، حفظ این تقلیل‌ها دشوار و حتی ناممکن از آب درآمد. ازاین‌رو، این پیشنهاد مطرح شد که شاید بتوان مؤلفه غیرمشاهدتی یک نظریه را، بدون ادعای هیچ‌گونه تقلیلی، تعریف ضمنی اصطلاحات نظری آن دانست. صورت‌بندی دقیق مؤلفه غیرمشاهدتی ممکن است با توجه به مسئله معرفت‌شناختی خاصی که در میان است، متفاوت باشد. اما ناگزیر یکی از دو معیار محافظه‌کاری و حذف‌پذیری، یا هر دوی آن‌ها، نقض خواهد شد.[13]

مثالی نهایی: بر اساس قضیه‌ای از تارسکی می‌دانیم که هیچ نظریه‌ای نمی‌تواند تعریفی مجاز برای محمول صدق \(Tr\) در زبان حساب پئانوی مورد بحث در بالا باشد. بااین‌حال، شاید همچنان بتوانیم نظریه \(H\) را تعریف ضمنی \(Tr\) بدانیم. (پل هوروویچ (Paul Horwich) پیشنهادی بسیار نزدیک به این دیدگاه را درباره مفهوم متعارف صدق مطرح کرده است.) در اینجا نیز بار دیگر حدودی که تقریر سنتی تحمیل می‌کند، تحت فشار قرار می‌گیرد. نظریه \(H\) معیار محافظه‌کاری را برآورده می‌کند، اما معیار حذف‌پذیری را نه.

برای ارزیابی چالشی که این کاربردهای فلسفی در برابر تقریر سنتی قرار می‌دهند، باید مسائلی را حل کنیم که اکنون موضوع بحث فلسفی‌اند. برخی از این مسائل عبارت‌اند از:

(i) روشن است که برخی موارد نقض محافظه‌کاری نامشروع‌اند: نمی‌توان صرفاً با وضع یک تعریف، برای مثال، صادق کرد که عطارد از زهره بزرگ‌تر است. حال، اگر یک کاربرد فلسفی مستلزم آن باشد که برخی موارد نقض محافظه‌کاری مشروع باشند، به تبیینی از تمایز میان این دو نوع مورد نیاز داریم: موارد نقض مشروع محافظه‌کاری و موارد نامشروع آن. همچنین باید بفهمیم چه چیزی یکی را مشروع و دیگری را نامشروع می‌کند.

(ii) مسئله‌ای مشابه درباره حذف‌پذیری نیز مطرح می‌شود. ظاهراً هر نظریه‌ای نمی‌تواند تعریف ضمنی یک اصطلاح \(X\) باشد. (ممکن است نظریه صرفاً شامل همان‌گویی‌ها باشد.) بنابراین، بار دیگر به معیاری برای تمایزگذاری میان نظریه‌هایی نیاز داریم که می‌توانند اصطلاحی را به‌طور ضمنی تعریف کنند و نظریه‌هایی که چنین قابلیتی ندارند. همچنین به توجیهی برای این تمایز نیازمندیم.

(iii) کاربردهای فلسفی این ایده، به‌طور اساسی بر این فرض استوارند که یک تعریف ضمنی، معنای اصطلاح تعریف‌شده را تثبیت می‌کند. بنابراین، به تبیینی از اینکه این معنا چیست و تعریف ضمنی چگونه آن را تثبیت می‌کند، نیاز داریم. بر اساس تقریر سنتی، می‌توان گفت فرمول‌های حاوی اصطلاح تعریف‌شده، معنای خود را از فرمول‌های زبان پایه به دست می‌آورند. (با توجه به تقدم جمله‌وار، این امر معنای اصطلاح تعریف‌شده را نیز تثبیت می‌کند.) اما این راهکار در برداشت آزادانه‌تر از تعریف ضمنی در دسترس نیست. بنابراین، در چارچوب این عدول پیشنهادی از تقریر سنتی، باید معنا را در یک فرمول چگونه در نظر بگیریم؟

(iv) حتی اگر سه مسئله پیشین به‌نحو رضایت‌بخشی حل شوند، نگرانی مهمی همچنان باقی می‌ماند. فرض کنیم بپذیریم که یک نظریه \(T\)، مثلاً در فیزیک، می‌تواند اصطلاحات نظری خود را به‌صورت وضعی تعریف کند و معانی خاصی به آن‌ها ببخشد. همچنان این پرسش باقی است که آیا معانی‌ای که بدین‌ترتیب به اصطلاحات داده می‌شوند، با معانی‌ای که این اصطلاحات در کاربردهای واقعی خود در فیزیک دارند یکسان‌اند (یا دست‌کم به‌اندازه کافی شبیه‌اند)؟ اگر قرار است تعریف‌های ضمنی کارکرد فلسفی خود را ایفا کنند، باید به این پرسش پاسخی مثبت داده شود. هدف از توسل به تعریف‌های ضمنی، تبیین عقلانیت، یا پیشینی‌بودن، یا تحلیلی‌بودن داوری‌های متعارف ماست، نه داوری‌های نامتعارفی که به‌نحوی به نشانه‌های متعارف نسبت داده شده‌اند.

ادبیات نئوفرگه‌گرایی، از حیث این مسائل، نمونه‌ای مطالعاتی جالب‌توجه به دست می‌دهد. بخش بزرگی از مناقشه درباره مدعای نئوفرگه‌گرایانه را می‌توان به‌نحو ثمربخشی مناقشه‌ای درباره دامنه و صورت‌بندی دقیق معیارهای محافظه‌کاری و کاربرد دانست. برای مثال، ایراد موسوم به ایراد ژولیوس سزار (Julius Caesar objection) ــ که به فرگه 1884 بازمی‌گردد ــ استدلال می‌کند که اصل هیوم نمی‌تواند تعریف مشروعی برای عبارت «تعدادِ» باشد؛ زیرا کاربرد این عبارت را در بافت‌های این‌همانی مختلط، مانند «تعداد \(F\)ها = ژولیوس سزار»، تعیین نمی‌کند. ایرادهای کلاسیک دیگری (Field 1984, Boolos 1997) بر عدم محافظه‌کاری اصل هیوم تمرکز دارند. بولوس (Boolos 1990) نکته‌ای به‌ویژه تند و مهم را مطرح می‌کند که به مسئله «شرکت بد» (Bad Company problem) معروف است. اصول انتزاعی (abstraction principles) نام اصولی است که از همان نوع اصل هیوم‌اند. بولوس اصلی انتزاعی را نشان می‌دهد که به‌تنهایی سازگار است، اما در ترکیب با اصل هیوم ناسازگار می‌شود. چنین وضعیت آسیب‌شناختی‌ای هرگز در مورد تعریف‌های محافظه‌کار رخ نمی‌دهد. بنابراین، مسئله شرکت بد نشان می‌دهد که با نقض الزام محافظه‌کاری چه مشکلاتی ممکن است پدید آیند.

طرفداران نئوفرگه‌گرایی به این ایرادها پاسخ‌های گوناگونی داده‌اند. رایت (Wright 1997) استدلال می‌کند که اصول انتزاعی فقط باید نسخه‌ای محدودشده از محافظه‌کاری را برآورده کنند و اصلاً لازم نیست معیار حذف‌پذیری را برآورده سازند. (بااین‌حال، پیشنهاد رایت با بازگشت مسئله شرکت بد مواجه شد؛ نک. Weir 2003.) در مقابل، لینبو (Linnebo 2018) از الزامات بسیار سخت‌گیرانه‌تری برای اصول انتزاعی دفاع می‌کند. او فقط اصول انتزاعی محمولی (predicative abstraction principles) را می‌پذیرد که در بافت‌های مناسب، هم معیار محافظه‌کاری و هم معیار حذف‌پذیری را برآورده می‌کنند. مَکِرِث و آویگاد (Mackereth and Avigad, forthcoming) از موضعی میانه دفاع می‌کنند. به نظر آنان، اصول انتزاعی باید محافظه‌کاری را به معنایی نامقید برآورده کنند، اما لازم نیست حذف‌پذیری را برآورده سازند. افزون بر این، مَکِرِث و آویگاد نشان می‌دهند که در غیاب حذف‌پذیری، صورت‌بندی دقیق محافظه‌کاری (نحوی در برابر معناشناختی و غیره) تفاوت بسیار مهمی ایجاد می‌کند. به‌ویژه، می‌توان به نسخه‌های ناپیش‌بینانه (impredicative) اصل هیوم دست یافت که از نظر معناشناختی محافظه‌کارند، اما ظاهراً همین امر درباره محافظه‌کاری نحوی صادق نیست.

برای بحث بیشتر درباره این مسائل، نک. Horwich 1998، به‌ویژه فصل 6؛ Hale and Wright 2001، به‌ویژه فصل 5؛ و آثار ارجاع‌شده در آن‌ها.

اصل دور باطل

انحراف دیگری از نظریه سنتی با این ایده آغاز می‌شود که مشکل نظریه نه بیش از اندازه سخت‌گیرانه بودن آن، بلکه بیش از اندازه سهل‌گیرانه بودن آن است؛ به این معنا که نظریه تعریف‌هایی را مجاز می‌شمارد که ناموجه‌اند. برای مثال، نظریه سنتی به‌ترتیب تعریف‌های زیر را برای «دروغ‌گو» و طبقه اعداد طبیعی \(N\) مجاز می‌داند:

(22)

\[ z \text{ دروغ‌گو است} =\_{\mathrm{df}} \text{تمام گزاره‌هایی که } z \text{ اظهار کرده است کاذب‌اند}. \]

(23)

\[ z \text{ به } N \text{ تعلق دارد} =\_{\mathrm{df}} z \text{ به هر طبقه استقرایی تعلق دارد}, \]

که در آن، طبقه استقرایی طبقه‌ای است که شامل صفر باشد و تحت عملگر جانشین بسته باشد.

راسل استدلال کرد که این‌گونه تعریف‌ها متضمن نوعی دور باطل ظریف‌اند. به نظر راسل، معرِّفِ تعریف نخست به کلیت همه گزاره‌ها ارجاع می‌دهد؛ اما اگر این تعریف موجه باشد، نتیجه آن گزاره‌هایی خواهند بود که تنها با ارجاع به همین کلیت قابل تعریف‌اند. به همین ترتیب، تعریف دوم می‌کوشد طبقه \(N\) را با ارجاع به همه طبقات تعریف کند؛ درحالی‌که طبقه \(N\) خود یکی از همین طبقات است. راسل معتقد بود چنین تعریف‌هایی ناموجه‌اند. ازاین‌رو، او شرطی را بر تعریف‌ها و مفاهیم تحمیل کرد که «اصل دور باطل» (Vicious-Circle Principle) نامیده می‌شود. (آنری پوانکاره نیز ایده‌ای مشابه مطرح کرده بود.)

اصل دور باطل. «هر چیزی که مستلزم کلیت یک مجموعه باشد، نباید خود عضوی از آن مجموعه باشد» (راسل ۱۹۰۸، ص. ۶۳).

راسل صورت‌بندی دیگری نیز از این اصل ارائه کرده است:

اصل دور باطل (صورت‌بندی بدیل). «اگر، به فرض اینکه یک مجموعه دارای کلیت باشد، آن مجموعه فقط اعضایی داشته باشد که تعریف‌پذیری‌شان بر حسب آن کلیت است، در این صورت مجموعه مذکور فاقد کلیت است» (راسل، ۱۹۰۸، ص. ۶۳).

راسل در پانوشتی افزوده توضیح می‌دهد: «وقتی می‌گویم یک مجموعه فاقد کلیت است، منظورم این است که گزاره‌های ناظر به همه اعضای آن بی‌معنا هستند.»

انگیزه اصلی راسل برای طرح اصل دور باطل، پارادوکس‌های منطقی و معنایی بود. مفاهیمی مانند «صدق»، «گزاره» و «طبقه» در شرایط نامساعدی به نتایج پارادوکسیکال می‌انجامند. برای مثال، گزاره «چنی دروغ‌گو است»، اگر «دروغ‌گو» را مطابق تعریف (16) بفهمیم، در صورتی که چنی اظهار کرده باشد که دروغ‌گو است و همه گزاره‌های دیگری که او اظهار کرده نیز در واقع کاذب باشند، به نتایج پارادوکسیکال می‌انجامد. راسل اصل دور باطل را به این معنا می‌گرفت که اگر «چنی دروغ‌گو است» بیانگر یک گزاره باشد، این گزاره نمی‌تواند در دامنه سورِ معرِّفِ تعریف (16) قرار گیرد. به‌طور کلی‌تر، راسل معتقد بود سورگذاری بر همه گزاره‌ها و همه طبقات، ناقض اصل دور باطل و در نتیجه ناموجه است. افزون بر این، او بر آن بود که تعبیرهایی مانند «صادق» و «کاذب» بیانگر یک مفهوم یگانه ــ یا به اصطلاح راسل، یک «تابع گزاره‌ای» یگانه ــ نیستند، بلکه هر یک از سلسله‌مراتبی از توابع گزاره‌ای با مرتبه‌های متفاوت حکایت می‌کنند. بنابراین، درسی که راسل از پارادوکس‌ها می‌گرفت این بود که دامنه امور معنادار محدودتر از آن چیزی است که در نگاه نخست به نظر می‌رسد؛ و برای کنار گذاشتن مواردی مانند (16) و (17)، باید تلقی سنتی از مفاهیم و تعریف‌ها را محدودتر کرد.

بااین‌حال، باید گفت که اصل دور باطل در کاربرد آن بر تعریف‌های معمول و غیررسمی، روش روشنی برای تمایزگذاری میان معنادار و بی‌معنا فراهم نمی‌کند. فرض بر این است که تعریف (16) ناموجه است، زیرا در معرِّف آن، سور بر کلیت همه گزاره‌ها دلالت می‌کند. به ما گفته می‌شود که این امر ممنوع است، زیرا اگر چنین چیزی مجاز بود، کلیت گزاره‌ها «اعضایی می‌داشت که فقط بر حسب آن کلیت تعریف‌پذیر بودند». اما تا زمانی که اطلاعات بیشتری درباره ماهیت گزاره‌ها و ابزارهای در دسترس برای تعریف آن‌ها نداشته باشیم، نمی‌توانیم تعیین کنیم که آیا تعریف (16) ناقض اصل است یا نه. ممکن است گزاره‌ای مانند «چنی دروغ‌گو است» ــ یا برای انتخاب مثالی کم‌مناقشه‌تر، «یا چنی دروغ‌گو است یا دروغ‌گو نیست» ــ به‌گونه‌ای تعریف‌پذیر باشد که مستلزم ارجاع به کلیت همه گزاره‌ها نباشد. برای مثال، اگر گزاره‌ها مجموعه‌هایی از جهان‌های ممکن باشند، به نظر می‌رسد چنین تعریفی امکان‌پذیر باشد.

بااین‌همه، اصل دور باطل انگیزه مؤثری برای صورت‌بندی تلقی خاصی از مفاهیم و تعریف‌های موجه فراهم می‌کند؛ یعنی همان تلقی‌ای که در نظریه نوع‌های انشعابی راسل (Ramified Type Theory) تجسم یافته است. ایده این نظریه آن است که کار را با برخی منابع اولیه و بی‌اشکال آغاز کنیم که هیچ سورگذاری‌ای بر گزاره‌ها، مفاهیم و امثال آن‌ها دربرندارند. این منابع به ما امکان می‌دهند، برای مثال، مفاهیم یک‌موضعی گوناگونی را تعریف کنیم که در نتیجه، رعایت اصل دور باطل درباره آن‌ها تضمین شده است. بنابراین، سورگذاری بر این مفاهیم ضرورتاً موجه خواهد بود و می‌توان آن را به زبان افزود. همین امر درباره گزاره‌ها و مفاهیم متعلق به انواع دیگر نیز صادق است: برای هر نوع، می‌توان سورى به زبان افزود که بر اشیایی از آن نوع دلالت کند که با استفاده از منابع اولیه و بی‌اشکال تعریف‌پذیرند. منابع سورگذاری جدید امکان تعریف اشیای بیشتری از هر نوع را فراهم می‌کنند؛ این اشیا نیز اصل را رعایت می‌کنند و بار دیگر می‌توان سورهایی را که بر کلیت‌های گسترش‌یافته دلالت می‌کنند، به‌نحوی موجه به زبان افزود. منابع جدید امکان تعریف اشیای بیشتری را فراهم می‌کنند و این فرایند تکرار می‌شود. حاصل کار، سلسله‌مراتبی از گزاره‌ها و مفاهیم با مرتبه‌های گوناگون است. هر نوع در سلسله‌مراتب نوع‌ها به چندین مرتبه منشعب می‌شود. این انشعاب تضمین می‌کند که تعریف‌های صورت‌بندی‌شده در زبان حاصل، ضرورتاً اصل دور باطل را رعایت کنند. مفاهیم و طبقه‌هایی که در محدوده این طرح قابل تعریف‌اند، «پیش‌بینانه» (predicative) نامیده می‌شوند (در یکی از معانی این واژه)؛ و مفاهیم و طبقه‌های دیگر «ناپیش‌بینانه» (impredicative) هستند.

برای بحث بیشتر درباره اصل دور باطل، بنگرید به راسل ۱۹۰۸، وایت‌هد و راسل ۱۹۲۵، گودل ۱۹۴۴ و چی‌هارا ۱۹۷۳. برای ارائه‌ای صوری از نظریه نوع‌های انشعابی، بنگرید به چرچ ۱۹۷۶؛ و برای ارائه‌ای غیررسمی‌تر، بنگرید به هازن ۱۹۸۳. همچنین بنگرید به مدخل‌های مربوط به نظریه نوع‌ها و اصول ریاضیات (Principia Mathematica) که حاوی ارجاعات بیشتری هستند.

تعریف‌های دوری

از پارادوکس‌ها می‌توان برای توجیه نتیجه‌ای درست در نقطه مقابل نتیجه راسل نیز استفاده کرد. تعریف زیر را برای یک محمول یک‌موضعی \(G\) در نظر بگیرید:

\[ \begin{aligned} Gx &=\_{\mathrm{df}} x = \text{Socrates} \tag{24} \\ &\quad \lor\ (x = \text{Plato} \mathbin{\&} Gx) \notag \\ &\quad \lor\ (x = \text{Aristotle} \mathbin{\&} \mathord{\sim} Gx). \notag \end{aligned} \]

این تعریف اساساً دوری(Circular) است و نمی‌توان آن را به تعریفی در صورت معیار (normal form) فروکاست. بااین‌حال، به‌طور شهودی، راهنمایی قابل‌توجهی درباره کاربرد \(G\) به دست می‌دهد. برای مثال، تعریف مقرر می‌کند که سقراط مصداق \(G\) است و هیچ چیزی جز سه فیلسوف باستانیِ نام‌برده‌شده مصداق آن نیست. این تعریف فقط وضعیت دو شیء را تعیین‌نشده باقی می‌گذارد: افلاطون و ارسطو. اگر فرض کنیم افلاطون مصداق \(G\) است، تعریف نتیجه می‌دهد که افلاطون واقعاً مصداق \(G\) است (زیرا افلاطون معرِّف را برآورده می‌کند) و بدین‌ترتیب فرض ما را تأیید می‌کند. اگر فرض مخالف را در نظر بگیریم، یعنی فرض کنیم افلاطون مصداق \(G\) نیست، باز هم همین اتفاق می‌افتد و فرض ما تأیید می‌شود. درباره ارسطو، هر تلاشی برای تصمیم‌گیری درباره اینکه آیا او مصداق \(G\) است یا نه، ما را در وضعیتی حتی دشوارتر قرار می‌دهد: اگر فرض کنیم ارسطو مصداق \(G\) است، تعریف ما را به این نتیجه می‌رساند که او مصداق \(G\) نیست (زیرا معرِّف را برآورده نمی‌کند)؛ و برعکس، اگر فرض کنیم او مصداق \(G\) نیست، به این نتیجه می‌رسیم که مصداق \(G\) است. اما حتی در مورد افلاطون و ارسطو نیز رفتار \(G\) ناآشنا نیست: \(G\) در اینجا همان‌گونه رفتار می‌کند که مفهوم صدق در پارادوکس راست‌گو («آنچه اکنون می‌گویم صادق است») و پارادوکس دروغ‌گو («آنچه اکنون می‌گویم صادق نیست») رفتار می‌کند. به‌طور کلی‌تر، میان رفتار مفهوم صدق و رفتار مفاهیمی که با تعریف‌های دوری تعریف می‌شوند، شباهت زیادی وجود دارد. هر دو معمولاً در دامنه‌ای از موارد به‌خوبی تعریف شده‌اند و در موارد دیگر انواعی از رفتارهای منطقی نامتعارف از خود نشان می‌دهند. در واقع، همه انواع رفتارهای منطقی مسئله‌برانگیزی که در مفهوم صدق یافت می‌شوند، در مفاهیم تعریف‌شده با تعریف‌های دوری نیز یافت می‌شوند. این شباهت نیرومند نشان می‌دهد که اگر مفهوم صدق آشکارا مفهومی موجه است، پس مفاهیمی که با تعریف‌های دوری مانند (18) تعریف می‌شوند نیز موجه‌اند. مطابق این دیدگاه، پارادوکس‌ها تردیدی درباره موجه بودن مفهوم صدق ایجاد نمی‌کنند؛ بلکه فقط نشان می‌دهند که منطق و معناشناسی مفاهیم دوری با منطق و معناشناسی مفاهیم غیردوری متفاوت است. این دیدگاه در نظریه بازنگری تعریف‌ها (revision theory of definitions) بسط یافته است.

در این نظریه، یک تعریف دوری به اصطلاح تعریف‌شده معنایی با ماهیتی فرضی می‌بخشد؛ ارزش معنایی اصطلاح تعریف‌شده یک قاعده بازنگری است، نه ــ چنان‌که در تعریف‌های غیردوری چنین است ــ یک قاعده کاربرد. بار دیگر تعریف (18) را در نظر بگیرید. مانند هر تعریف دیگری، تعریف (18) در صورتی که تفسیر ثابت‌های غیرمنطقیِ موجود در معرِّف داده شده باشد، تفسیر معرَّف را تعیین می‌کند. مشکل تعریف (18) این است که اصطلاح تعریف‌شده \(G\) در معرِّف حضور دارد. اما فرض کنید تفسیری را به‌دلخواه به \(G\) نسبت دهیم؛ مثلاً فرض کنیم \(G\) مجموعه \(U\) از همه اشیای موجود در جهان گفتار باشد (یعنی فرض کنیم \(U\) مجموعه اشیایی است که \(G\) بر آن‌ها صدق می‌کند). در این صورت، به‌آسانی می‌توان دید که معرِّف دقیقاً درباره سقراط و افلاطون صادق است. بنابراین، تعریف مقرر می‌کند که بر اساس فرض ما، تفسیر \(G\) باید مجموعه

\[ \{\text{سقراط},\text{افلاطون}\} \]

باشد. محاسبه مشابهی را می‌توان برای هر فرضی درباره تفسیر \(G\) انجام داد. برای مثال، اگر فرض ما مجموعه

\[ \{\text{گزنوکراتس}\} \]

باشد، تعریف به نتیجه

\[ \{\text{سقراط},\text{ارسطو}\} \]

می‌انجامد. خلاصه اینکه، هرچند تعریف (18) به‌طور دقیق تعیین نمی‌کند که چه اشیایی مصداق \(G\) هستند، قاعده یا تابعی به دست می‌دهد که وقتی تفسیری فرضی را به‌عنوان ورودی دریافت می‌کند، تفسیر دیگری را به‌عنوان خروجی ارائه می‌دهد. ایده بنیادی نظریه بازنگری این است که این قاعده را قاعده‌ای برای بازنگری بدانیم: تفسیر خروجی بهتر از تفسیر ورودی است (یا دست‌کم به همان اندازه خوب است؛ این قید را در ادامه مفروض می‌گیریم). ارزش معنایی‌ای که تعریف به اصطلاح تعریف‌شده می‌بخشد، امتداد (extension) نیست؛ یعنی مرزبندی جهان گفتار به دو دسته از اشیا، آن‌هایی که اصطلاح تعریف‌شده بر آن‌ها صدق می‌کند و آن‌هایی که بر آن‌ها صدق نمی‌کند. ارزش معنایی، یک قاعده بازنگری است.

قاعده بازنگری رفتار عادی و غیرعادی یک مفهوم دوری را تبیین می‌کند. فرض کنید \(\delta\) قاعده بازنگری‌ای باشد که از یک تعریف حاصل می‌شود و \(V\) تفسیری فرضی و دلخواه از اصطلاح تعریف‌شده باشد. می‌توانیم با کاربرد مکرر قاعده \(\delta\)، فرضیه خود \(V\) را بهبود بخشیم. دنباله حاصل،

\[ V,\ \delta(V),\ \delta(\delta(V)),\ \delta(\delta(\delta(V))),\ \ldots \]

یک دنباله بازنگری (revision sequence) برای \(\delta\) است. کلیت دنباله‌های بازنگری برای \(\delta\)، با در نظر گرفتن همه فرضیه‌های اولیه ممکن، فرایند بازنگری (revision process) تولیدشده به‌وسیله \(\delta\) است. برای مثال، قاعده بازنگری مربوط به (18) فرایند بازنگری‌ای تولید می‌کند که از جمله شامل دنباله‌های بازنگری زیر است:

\[ U,\ \{\text{سقراط},\text{افلاطون}\},\ \{\text{سقراط},\text{افلاطون},\text{ارسطو}\},\ \{\text{سقراط},\text{افلاطون}\},\ \ldots \]\[ \{\text{گزنوکراتس}\},\ \{\text{سقراط},\text{ارسطو}\},\ \{\text{سقراط}\},\ \{\text{سقراط},\text{ارسطو}\},\ \ldots \]

به رفتار چهار فیلسوف باستانی‌مان در این فرایند توجه کنید. پس از چند مرحله نخست بازنگری، سقراط همواره در تفسیرهای بازنگری‌شده قرار می‌گیرد و گزنوکراتس همواره بیرون از آن‌ها باقی می‌ماند. (در این مثال خاص، وضعیت این دو پس از مرحله نخست تثبیت می‌شود؛ اما در موارد دیگر ممکن است مراحل بازنگری بسیاری لازم باشد تا وضعیت یک شیء تثبیت شود.) فرایند بازنگری درباره این دو فیلسوف حکمی قطعی صادر می‌کند: سقراط به‌طور قطعی مصداق \(G\) است و گزنوکراتس به‌طور قطعی مصداق \(G\) نیست. اشیایی که فرایند درباره آن‌ها حکم قطعی صادر نمی‌کند، نسبت به قاعده بازنگری، تعریف یا مفهوم تعریف‌شده، مسئله‌دار (pathological) نامیده می‌شوند. در مثال ما، افلاطون و ارسطو نسبت به تعریف (18) مسئله‌دارند. وضعیت ارسطو در هیچ دنباله بازنگری‌ای پایدار نیست. گویی فرایند بازنگری نمی‌تواند درباره او تصمیم بگیرد. گاهی حکم می‌کند که ارسطو مصداق \(G\) است و سپس نظر خود را تغییر می‌دهد و اعلام می‌کند که او مصداق \(G\) نیست؛ و پس از آن بار دیگر نظر خود را تغییر می‌دهد. هنگامی که یک شیء در همه دنباله‌های بازنگری چنین رفتاری از خود نشان دهد، پارادوکسیکال (paradoxical) نامیده می‌شود. افلاطون نیز نسبت به \(G\) مسئله‌دار است، اما رفتارش در فرایند بازنگری متفاوت است. وضعیت افلاطون در هر دنباله بازنگری پایدار می‌شود، اما وضعیتی که به دست می‌آورد به فرضیه اولیه بستگی دارد.

فرایندهای بازنگری به فراهم کردن معناشناسی‌ای برای تعریف‌های دوری کمک می‌کنند.[14] از این فرایندها می‌توان برای تعریف مفاهیم معنایی مانند «صدق قطعی» (categorical truth) و مفاهیم منطقی مانند «اعتبار» (validity) استفاده کرد. ویژگی‌های مفاهیم منطقی‌ای که به دست می‌آوریم، به‌نحو تعیین‌کننده‌ای به یکی از جنبه‌های بازنگری بستگی دارند: تعداد مراحلی که در فرایند بازنگری طول می‌کشد تا اشیا به رفتار معمول خود برسند. یک تعریف متناهی (finite) نامیده می‌شود اگر و تنها اگر، به‌طور تقریبی، فرایند بازنگری آن ضرورتاً فقط به تعداد متناهی از این مراحل نیاز داشته باشد.[15] برای تعریف‌های متناهی، دستگاه حساب منطقی ساده‌ای به نام \(C_0\) وجود دارد که نسبت به معناشناسی بازنگری، درست و کامل است.[16] در مورد تعریف‌های نامتناهی، فرایند بازنگری به قلمرو فرامتناهی (transfinite) گسترش می‌یابد.[17] این تعریف‌ها می‌توانند قدرت بیانی زبان را به میزان قابل‌توجهی افزایش دهند. (هنگامی که این تعریف‌ها به حساب مرتبه اول افزوده شوند، همه مجموعه‌های \(\Pi^1_2\) از اعداد طبیعی تعریف‌پذیر می‌شوند.) به دلیل همین قدرت بیانی، مفهوم کلی اعتبار برای تعریف‌های دوری نامتناهی اصل‌موضوع‌پذیر نیست (Kremer 1993). در بهترین حالت می‌توانیم دستگاهی استنتاجی داشته باشیم که درست باشد، اما کامل نباشد. وضعیت در اینجا مشابه وضعیت منطق مرتبه دوم است.

اکنون برخی ویژگی‌های کلی نظریه بازنگری تعریف‌ها را ملاحظه کنیم. (i) بر اساس این نظریه، منطق و معناشناسی تعریف‌های غیردوری ــ یعنی تعریف‌های دارای صورت معیار ــ همانند تلقی سنتی باقی می‌ماند. قواعد معرفی و حذف بدون هیچ محدودیتی برقرارند و مراحل بازنگری را می‌توان کنار گذاشت. انحراف از تلقی سنتی فقط در مورد تعریف‌های دوری رخ می‌دهد. (ii) بر اساس این نظریه، تعریف‌های دوری منطق زبان پایه را مختل نمی‌کنند. جمله‌های حاوی اصطلاحات تعریف‌شده تابع همان قوانین منطقی‌اند که جمله‌های زبان پایه از آن‌ها پیروی می‌کنند. (iii) اصل محافظه‌کاری برقرار است. هیچ تعریفی، هرقدر هم دور موجود در آن شرورانه باشد، چیزی جدید را در زبان پایه نتیجه نمی‌دهد. حتی تعریف کاملاً پارادوکسیکال

\[ Gx =\_{\mathrm{df}} \neg Gx \]

نیز شرط محافظه‌کاری را رعایت می‌کند. (iv) حذف‌پذیری برقرار نیست. جمله‌های زبان گسترش‌یافته، به‌طور کلی، به جمله‌های زبان پایه فروکاستنی نیستند. این ناکامی دو منشأ دارد. نخست، نظریه بازنگری کاربرد جمله‌های زبان گسترش‌یافته را در اظهار و استدلال تثبیت می‌کند، بی‌آنکه این جمله‌ها را به جمله‌های زبان پایه فروبکاهد. بنابراین، این نظریه معیار کاربرد را برآورده می‌کند، اما معیار قوی‌تر حذف‌پذیری را نه. دوم، در این نظریه، یک تعریف می‌تواند قدرت منطقی و بیانی زبان پایه را افزایش دهد. افزودن یک تعریف دوری ممکن است به تعریف‌پذیر شدن مجموعه‌های جدید بینجامد. این نیز دلیل دیگری برای برقرار نبودن حذف‌پذیری است.

ممکن است اعتراض شود که هر مفهومی باید دارای یک امتداد باشد؛ یعنی باید کلیت معینی از اشیا وجود داشته باشد که مصداق آن مفهوم باشند. اگر این سخن درست باشد، یک محمول فقط هنگامی معنادار است ــ یعنی مفهومی را بیان می‌کند ــ که ضرورتاً جهان را به‌روشنی به دو دسته تقسیم کند: اشیایی که محمول بر آن‌ها صدق می‌کند و اشیایی که بر آن‌ها صدق نمی‌کند. بنابراین، نتیجه اعتراض این است که هیچ محمولی با تعریف اساساً دوری نمی‌تواند معنادار باشد. آشکار است که این اعتراض قاطع نیست، زیرا بر مقدمه‌ای تکیه دارد که بسیاری از محمول‌های معمول و ظاهراً معنادار (برای مثال، «کچل») را نیز کنار می‌گذارد. بااین‌حال، این اعتراض شایان توجه است، زیرا نشان می‌دهد که چگونه مسائل کلی مربوط به معنا و مفاهیم وارد بحث درباره الزامات تعریف‌های موجه می‌شوند.

انگیزه اصلی نظریه بازنگری، توصیفی است. استدلال شده است که این نظریه به ما کمک می‌کند مفاهیم معمول خود، مانند صدق، ضرورت و انتخاب عقلانی را بهتر بفهمیم. بر اساس این استدلال، رفتار عادی و نیز رفتار مسئله‌برانگیز این مفاهیم، ریشه در دوری بودن آن‌ها دارد. اگر این سخن درست باشد، هیچ الزام منطقی‌ای وجود ندارد که تعریف‌های توصیفی و تبیینی غیردوری باشند.

برای بررسی تفصیلی‌تر این موضوعات، بنگرید به گوپتا ۱۹۸۸/۸۹، گوپتا و بلنپ ۱۹۹۳ و چاپویی و گوپتا ۱۹۹۹. همچنین بنگرید به مدخل مربوط به نظریه بازنگری صدق. برای بحث‌های انتقادی درباره نظریه بازنگری، بنگرید به مقاله‌های ون مک‌گی و دونالد ای. مارتین و پاسخ گوپتا در ویلانوا ۱۹۹۷. همچنین بنگرید به شاپیرو ۲۰۰۶.

سپاسگزاری

نویسندگان مایل‌اند از ادوارد زالتا و ویراستار ناشناس به‌خاطر پیشنهادهای سودمندشان برای بهبود این مدخل تشکر کنند.

منابع

Belnap, N., 1993, “On Rigorous Definitions,” Philosophical Studies, 72: 115–146.

Beth, E. W., 1953, “On Padoa’s Method in the Theory of Definitions,” Indagationes Mathematicae, 15: 330–339. Boolos, G. S., 1997, “Is Hume’s Principle Analytic?” in Language, Thought, and Logic: Essays in Honour of Michael Dummett, edited by R. K. Heck, Oxford: Oxford University Press. Reprinted in his Logic, Logic, and Logic, edited by R. Jeffrey and J. P. Burgess, Cambridge MA: Harvard University Press (1998), pp. 301–314.

Boolos, G. S., Burgess, J. P., and Jeffrey, R. C., 2002, Computability and Logic, fourth edition, Cambridge: Cambridge University Press.

Carnap, R., 1956, Meaning and Necessity: A Study in Semantics and Modal Logic, enlarged edition, Chicago: University of Chicago Press. Carnap, R. 1963, “Replies and Systematic Expositions,” in The Philosophy of Rudolph Carnap, edited by P. A. Schilpp, La Salle IL: Open Court, pp. 859–1013.

Chapuis, A., and Gupta, A. (eds.), 1999, Circularity, Definition, and Truth, New Delhi: Indian Council of Philosophical Research.

Charles, D. (ed.), 2010, Definition in Greek Philosophy, Oxford: Oxford University Press.

Chihara, C. S., 1973, Ontology and the Vicious-Circle Principle, Ithaca: Cornell University Press.

Church, A., 1956, Introduction to Mathematical Logic, Princeton: Princeton University Press.

–––, 1976, “Comparison of Russell’s Resolution of the Semantical Antinomies with that of Tarski,” Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760.

Demopoulos, W., 2003, “On the Rational Reconstruction of our Theoretical Knowledge,” British Journal for the Philosophy of Science, 54: 371–403.

Dudman, V. H., 1973, “Frege on Definitions,” Mind, 83: 609–610. Field, H., 1984, “Crispin Wright: Frege’s Conception of Numbers as Objects (Aberdeen University Press 1983),” Canadian Journal of Philosophy, 14(4): 637–662.

Fine, K., 1994, “Essence and Modality,” Philosophical Perspectives, 8: 1–15. Frege, G., 1879, Begriffsschrift, in From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, edited by J. van Heijenoort, Cambridge MA: Harvard University Press (1967), pp. 1–82. –––, 1884, The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Inquiry into the Concept of Number, second revised edition (1980), Evanston: Northwestern University Press. –––, 1914, “Logic in Mathematics,” in Gottlob Frege: Posthumous Writings, edited by H. Hermes, F. Kambartel, and F. Kaulbach, Chicago: University of Chicago Press (1979), pp. 203–250. Gödel, K., 1944, “Russell’s Mathematical Logic,” reprinted in his Collected Works: Volume II: Publications 1938–1974, New York: Oxford University Press (1990), pp. 119–141

Gupta, A., 1988/89, “Remarks on Definitions and the Concept of Truth,” Proceedings of the Aristotelian Society, 89: 227–246. –––, 2006, “Finite Circular Definitions,” in Self-Reference, edited by T. Bolander, V. F. Hendricks, and S. A. Andersen, Stanford: CSLI Publications, pp. 79–93.

–––, 2019, Conscious Experience: A Logical Inquiry, Cambridge, MA: Harvard University Press.

Gupta, A. and Belnap, N., 1993, The Revision Theory of Truth, Cambridge MA: MIT Press.

Hacker, P.M.S., 1993, “Wittgenstein on Ostensive Definitions,” Inquiry, 18: 267–287.

Halbach, V., 2014, Axiomatic Theories of Truth, revised edition, New York: Cambridge University Press.

Hale B., and Wright C., 2001, The Reason’s Proper Study: Essays towards a Neo-Fregean Philosophy of Mathematics, Oxford: Clarendon Press. Hazen, A., 1983, “Predicative Logics,” in Handbook of Philosophical Logics: Volume I: Elements of Classical Logic, edited by D. Gabbay and F. Guenthner, Dordrecht: Reidel, pp. 331–407. Hodges, W., 1993, “Tarski’s Theory of Definition,” in New Essays on Tarski and Philosophy, edited by D. Patterson, Oxford: Oxford University Press, pp. 94–132.

Horty, J., 2007, Frege on Definitions: A Case Study of Semantic Content, New York: Oxford University Press.

Horwich, P., 1998, Meaning, Oxford: Clarendon Press. Kremer, P., 1993, “The Gupta-Belnap systems S

and S ∗

are not axiomatisable,” Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 583–596.

Kripke, S. A., 1980, Naming and Necessity, Cambridge MA: Harvard University Press.

Lewis, D., 1970, “How to Define Theoretical Terms,” Journal of Philosophy, 67: 427–446.

Linnebo, Ø., 2018, Thin Objects: An Abstractionist Account, New York: Oxford University Press.

Locke, J., 1689, An Essay concerning Human Understanding, edited by P. H. Nidditch, Oxford: Oxford University Press (1975). Mackereth, S., and Avigad, J., forthcoming, “Two-sorted Frege Arithmetic is not Conservative,” Review of Symbolic Logic, first online 18 April 2022. doi:10.1017/S1755020322000156

Martinez, M., 2001, “Some Closure Properties of Finite Definitions,” Studia Logica, 68: 43–68.

Moschovakis, Y., 1974, Elementary Induction on Abstract Structures, Amsterdam: North-Holland. Padoa, A., 1900, “Logical Introduction to Any Deductive Theory,” in From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, edited by J. van Heijenoort, Cambridge MA: Harvard University Press (1967), pp. 118–123. Quine, W. V. O., 1951, “Two Dogmas of Empiricism,” reprinted in his From a Logical Point of View, Cambridge MA: Harvard University Press (1953), pp. 20–46.

–––, 1960, Word and Object, Cambridge MA: MIT Press.

Ramsey, F. P., 1931, “Theories,” reprinted in Foundations: Essays in Philosophy, Logic, Mathematics and Economics, edited by D. H. Mellor, Atlantic Highlands, NJ: Humanities Press, 1978, pp. 101–125.

Robinson, R., 1950, Definition, Oxford: Clarendon Press.

Rosen, G., 2015, “Real Definition,” Analytic Philosophy, 56: 189–209. Russell, B., 1908, “Mathematical Logic as Based on the Theory of Types,” reprinted in his Logic and Knowledge: Essays 1901–1950, London: George Allen & Unwin, 1956, pp. 59–102.

–––, 1948, Human Knowledge: Its Scope and Limits, New York: Simon and Schuster.

Shapiro, L., 2006, “The Rationale Behind Revision-Rule Semantics,” Philosophical Studies, 129: 477–515.

Suppes, P., 1957, Introduction to Logic, New York: Van Nostrand Reinhold. Tarski, A., 1983, Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923 to 1938, second edition, edited by J. Corcoran, Indianapolis: Hackett Publishing Company.

Urbaniak, R., and Hämäri, K. S., 2012, “Busting a Myth about Leśniewski and Definitions,” History and Philosophy of Logic, 33: 159–189.

Villanueva, E., (ed.), 1997, Truth (Philosophical Issues 8), Atascadero: Ridgeview Publishing Company.

Weir, A., 2003, “Neo-Fregeanism: An Embarrassment of Riches,” Notre Dame Journal of Formal Logic, 44(1): 13–48.

Whitehead, A. N., and Russell, B., 1925, Principia Mathematica, vol. 1, second edition, Cambridge: Cambridge University Press.

Whiteley, C. H., 1956, “Meaning and Ostensive Definition,” Mind, 65: 332–335.

Wittgenstein, L., 1953, Philosophical Investigations, New York: Macmillan.

Wright, C., 1997, “On the Philosophical Significance of Frege’s Theorem,” in Language, Thought, and Logic: Essays in Honour of Michael Dummett, edited by R. K. Heck, Oxford: Oxford University Press. Reprinted in Hale and Wright 2001, pp. 272–306.

تعریف on رفتن