حلّ معادله ریاضی درجه دوم

مدخل

حرکت شناسی یا سینماتیک شاخه ای از فیزیک است که به طبقه بندی و مقایسه حرکت ها می پردازد. نوع خاصی از حرکت در یک بعد، حرکت با شتاب ثابت است. سقوط آزاد با کمی مسامحه و با صرف نظر کردن از وجود هوا، مشهود ترین مصداق حرکت با شتاب ثابت است.

اگر با داشتن سرعت اولیه و در مسائل سقوط آزاد در پی پیدا کردن زمان قرار گرفتن ذره در یک ارتفاع بخصوص باشیم از فرمول ذیل استفاده می کنیم:

x=12at2+v0t+x0 x=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_{0}

که در آن شتاب معادل گرانش در نزدیکی سطح زمین و معادل است با منفی 9.81 متر بر مربع ثانیه:

g=9.81ms2 g=-9.81\frac{m}{s^{2}}

از آنجایی که - چنانچه گفته شد- در مساله مفروض سایر متغیر ها به جز زمان معلوم است، معادله فوق به یک معادله مرتبه دوم تبدیل می شود:

4.9t2v0t+y=0 4.9t^{2} - v_{0}t + y = 0

و اینجاست که برای کشف مقدار زمان لازم است تا روش حل معادله مرتبه دوم را بدانیم.

معادله ریاضی درجه دوم

در جبر، معادله درجه دوم یا مربعی (به انگلیسی: Quadratic Equation)، هر معادله تک متغیره ای ست که بتوان آن را به صورت فرم استاندارد زیر نوشت:

ax2+bx+c=0 ax^{2} + bx + c = 0

و جواب های آن به طور کلی از فرمول زیر بدست می آیند:

x=b±b24ac2a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}

این فرمول کار می کند. امّا واقعا چگونه چنین چیز پیچیده ای بوجود آمده است؟

اثبات روش کلی حل معادله درجه دوم

  1. داریم:
ax2+bx+c=0 ax^{2} + bx + c = 0
  1. دو طرف را در مقدار 4a 4a ضرب می کنیم:
4a2x2+4abx+4ac=0 4a^{2}x^{2} + 4abx + 4ac = 0
  1. از دو طرف 4ac 4ac را کم می کنیم:
4a2x2+4abx=4ac 4a^{2}x^{2} + 4abx = - 4ac
  1. به دو طرف b2 b^{2} را اضاف می کنیم:
4a2x2+4abx+b2=b24ac 4a^{2}x^{2} + 4abx + b^{2} = b^{2} - 4ac
  1. اتحاد مربع دو جمله ای یکی از معروف ترین اتحاد های ریاضی است که به این صورت برقرار است:
(A+B)2=(A)2+2(A)(B)+(B)2 (A+B)^2=(A)^2+2(A)(B)+(B)^2\,
  1. اتحاد دوجمله ای را بر سمت چپ معادله اعمال می کنیم:
(2ax+b)2=b24ac (2ax + b)^{2} = b^{2} - 4ac
  1. از دو طرف جذر می گیریم:
2ax+b=±b24ac 2ax + b = \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}
  1. از دو طرف b b را کم می کنیم:
2ax=b±b24ac 2ax = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}
  1. دو طرف را بر 2a 2a تقسیم می کنیم:
x=b±b24ac2a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}

ماشین حساب

مقادیر a و b و c را وارد کنید:

x2+ x^{2} + x+ x + =0 = 0

نتیجه:

x1= x_{1} = ?
x2= x_{2} = ?
قدرت گرفته از Hugo
قالب Stack ساخته شده توسط Jimmy