حلّ معادله ریاضی درجه دوم

مدخل

حرکت شناسی یا سینماتیک شاخه ای از فیزیک است که به طبقه بندی و مقایسه حرکت ها می پردازد. نوع خاصی از حرکت در یک بعد، حرکت با شتاب ثابت است. سقوط آزاد با کمی مسامحه و با صرف نظر کردن از وجود هوا، مشهود ترین مصداق حرکت با شتاب ثابت است.

اگر با داشتن سرعت اولیه و در مسائل سقوط آزاد در پی پیدا کردن زمان قرار گرفتن ذره در یک ارتفاع بخصوص باشیم از فرمول ذیل استفاده می کنیم:

$$ x=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_{0} $$

که در آن شتاب معادل گرانش در نزدیکی سطح زمین و معادل است با منفی 9.81 متر بر مربع ثانیه:

$$ g=-9.81\frac{m}{s^{2}} $$

از آنجایی که - چنانچه گفته شد- در مساله مفروض سایر متغیر ها به جز زمان معلوم است، معادله فوق به یک معادله مرتبه دوم تبدیل می شود:

$$ 4.9t^{2} - v_{0}t + y = 0 $$

و اینجاست که برای کشف مقدار زمان لازم است تا روش حل معادله مرتبه دوم را بدانیم.

معادله ریاضی درجه دوم

در جبر، معادله درجه دوم یا مربعی (به انگلیسی: Quadratic Equation)، هر معادله تک متغیره ای ست که بتوان آن را به صورت فرم استاندارد زیر نوشت:

$$ ax^{2} + bx + c = 0 $$

و جواب های آن به طور کلی از فرمول زیر بدست می آیند:

$$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a} $$

این فرمول کار می کند. امّا واقعا چگونه چنین چیز پیچیده ای بوجود آمده است؟

اثبات روش کلی حل معادله درجه دوم

داریم:

$$ ax^{2} + bx + c = 0 $$

دو طرف را در مقدار $ 4a $ ضرب می کنیم:

$$ 4a^{2}x^{2} + 4abx + 4ac = 0 $$

از دو طرف $ 4ac $ را کم می کنیم:

$$ 4a^{2}x^{2} + 4abx = - 4ac $$

به دو طرف $ b^{2} $ را اضاف می کنیم:

$$ 4a^{2}x^{2} + 4abx + b^{2} = b^{2} - 4ac $$

اتحاد مربع دو جمله ای یکی از معروف ترین اتحاد های ریاضی است که به این صورت برقرار است:

$ (A+B)^2=(A)^2+2(A)(B)+(B)^2\,$

اتحاد دوجمله ای را بر سمت چپ معادله اعمال می کنیم:

$$ (2ax + b)^{2} = b^{2} - 4ac $$

از دو طرف جذر می گیریم:

$$ 2ax + b = \pm \sqrt{b^{2} - 4ac} $$

از دو طرف $ b $ را کم می کنیم:

$$ 2ax = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac} $$

دو طرف را بر $ 2a $ تقسیم می کنیم:

$$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a} $$

ماشین حساب

مقادیر a و b و c را وارد کنید:

نتیجه: