مرد جوان داخل عکس بالا، کریپکی فیلسوف و منطق‌دانِ آمریکایی است که همین تابستان دو سال پیش یعنی سپتامبر 2022 فوت کرد و اگر کمی صبر کنید می فهمید چرا عکسش بالای این مطلب است.
فرض کنید شما در حال مطالعه‌ی یک منطق هستید که علاوه بر گزاره‌ها (مثل \(P\) و \(Q\) که می‌توانند صادق یا کاذب باشند) یک یا دو عملگر اضافی هم دارد: یکی به اسم «ضرورت» (با نماد \( \Box \)) و دیگری به اسم «امکان» (با نماد \( \Diamond \)). این منطق که علاوه بر “درست یا نادرست بودن” گزاره‌ها به مفاهیم “ضروری بودن” و “ممکن بودن” هم می‌پردازد، «منطق موجهات»1 نام دارد.
حالا می‌خواهیم خیلی قدم به قدم پیش برویم:
منطق موجهات چیست؟
در منطق کلاسیک، شما فقط با جملاتی مثل “\(P\) درست است” یا “\(Q\) درست است” سروکار دارید. اما در منطق موجهات ما می‌خواهیم بتوانیم بگوییم:
“\(P\) همیشه (در همه شرایط ممکن) درست است.”
یا
“\(P\) می‌تواند درست باشد، اما معلوم نیست که همیشه درست باشد.”
مثلاً:
- “اینکه \(2+2=4\) ضروری است” یعنی در هیچ حالت ممکنی تصور نمی‌کنیم که \(2+2=5\) شود.
- “اینکه تو فردا می‌توانی به سفر بروی یک امکان است” یعنی شرایطی وجود دارد که این اتفاق می‌تواند رخ دهد، اما الزاماً همیشه و در همه حالات درست نیست.
بنابراین عملگر \( \Box \) (ضرورت) و \( \Diamond \) (امکان) به ما اجازه می‌دهد درباره‌ی چنین گزاره‌هایی صحبت کنیم.
منطق موجهات نرمال2 چیست؟
برای اینکه منطق موجهات را به صورت ریاضی و صوری بررسی کنیم، یک سری اصول پایه در نظر می‌گیریم. یکی از ساده‌ترین و پایه‌ای‌ترین سیستم‌ها در منطق موجهات را «سیستم \(K\)» می‌نامند (نام این سیستم از Saul Kripke الهام گرفته شده).
در سیستم \(K\)، ما یک قاعده‌ی اصلی داریم به نام اصل توزیع ضرورت (یا آکسیوم \(K\)):
\[ \Box (P \rightarrow Q) \rightarrow (\Box P \rightarrow \Box Q) \]این اصل چه می‌گوید؟
می‌گوید: اگر ضروری باشد که “اگر \(P\) آنگاه \(Q\)"، آن‌وقت اگر \(P\) ضروری باشد، \(Q\) هم ضروری است.
این یک قاعده‌ی منطقی برای ضرورت است که آن را با منطق کلاسیک ترکیب می‌کند.
هر سیستمی که حداقل این اصل \(K\) را داشته باشد و یک سری قواعد استنتاج استاندارد منطق موجهات (مثل قانون «از \( \Box P\) نتیجه بگیر \(P\)» در صورتی که آن را داریم) را رعایت کند، یک سیستم “نرمال” در منطق موجهات محسوب می‌شود. “نرمال” به این معنی است که شما منطق موجهات را بر اساس قواعد محکم و منظمی بنا کرده‌اید که امکان استنتاج‌ها و برهان‌های استاندارد را می‌دهد.
پس “منطق موجهات نرمال” یعنی ما با یک سیستم موجهاتی طرف هستیم که دست‌کم شامل اصل \(K\) هست و بر مبنای قوانین استاندارد استنتاج کار می‌کند.
از K تا S5: زنجیره‌ای از سیستم‌ها
سیستم \(K\) پایه است. برای رسیدن به سیستم‌های قوی‌تر، به آکسیوم‌های بیشتر نیاز داریم. مثلاً:
سیستم T: اضافه کردن اصل T به K
\[ T: \Box P \rightarrow P \]این یعنی اگر \(P\) ضروری است، پس واقعاً صادق است. (ضرورت بدون حقیقت معنی ندارد.)
سیستم S4: اضافه کردن اصل 4 به T
\[ 4: \Box P \rightarrow \Box \Box P \]این یعنی اگر \(P\) ضروری است، آن ضرورت خودش هم ضروری است. به عبارت دیگر، وقتی چیزی ضروری است، در همه شرایط ممکن برای شرایط ممکن دیگر هم ضروری باقی می‌ماند.
سیستم S5: اضافه کردن اصل 5 به S4
\[ 5: \Diamond P \rightarrow \Box \Diamond P \]این یعنی اگر \(P\) امکان‌پذیر است، پس ضرورتاً امکان‌پذیر است. یعنی نه تنها \(P\) در یک جهان ممکن هست، بلکه در همه جهان‌های ممکن هم آن جهان ممکن وجود دارد.
در سیستم \(S5\)، ترکیب این اصول باعث می‌شود که تمام تفاوت‌ها میان جهان‌های ممکن از بین برود. یعنی در منطق \(S5\) می‌توان گفت همه جهان‌های ممکن از دیدگاه امکان و ضرورت مثل هم هستند. در این سیستم:
- اگر چیزی ممکن باشد، در همه حال ممکن است.
- اگر چیزی ضروری باشد، در همه حال ضروری است.
چرا این کارها را می‌کنیم؟
هدف از معرفی سیستم‌های مختلف (\(K\)، \(T\)، \(S4\)، \(S5\) و غیره) این است که بسته به مفاهیمی که می‌خواهیم مدل کنیم، بتوانیم از اصول مناسب استفاده کنیم. هر آکسیوم اضافی، شرایط قوی‌تری را بر جهان‌های ممکن تحمیل می‌کند.
درک شهودی از S5
تصور کنید شما شبکه‌ای از جهان‌های ممکن دارید. در \(K\) این شبکه خیلی بدون محدودیت است. در \(T\) شما می‌گویید هر جهان به خودش دسترسی دارد (جهان ما خودش یک حالت ممکن است). در \(S4\) شما می‌گویید دسترسی به جهان‌ها یک خاصیت “انتقال‌پذیری” دارد.
اما در \(S5\) شما طوری محدودیت می‌گذارید که عملاً هر جهان ممکنی به هر جهان ممکن دیگر دسترسی دارد و همه‌شان از نظر دسترسی یکسان هستند. این یعنی هیچ تفاوت “جهان ممکن دور یا نزدیک” نداریم. در نتیجه، اگر یک گزاره‌ای در یک جهان ممکن شود، در همه جهان‌های ممکن هم ممکن می‌شود. همین‌طور برای ضرورت.
خلاصه:
- منطق موجهات: منطق گزاره‌ها با مفاهیم “ضرورت” و “امکان”
- منطق موجهات نرمال: نوعی منطق موجهات که حداقل اصل \(K\) را دارد و قوانین استنتاج استاندارد را رعایت می‌کند.
- \(S5\): یک سیستم خیلی قوی در منطق موجهات نرمال که در آن ضرورت و امکان به حالت “حداکثری” رسیده‌اند؛ یعنی تمام جهان‌های ممکن یکسان در نظر گرفته می‌شوند.