روش سری گریگوری
سری گریگوری (Gregory Series)، یک فرمول عدد پی می باشد که توسط Gregory و Leibniz ارئه شد و به این صورت محاسبه می گردد:
$$
\frac{\pi }{4} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^{k + 1}}}}{{2k - 1}}}
$$
یکی از مشکلاتی که در این روش وجود دارد این است که برای پیدا کردن مقدار عدد پی تا ۶ رقم اعشار باید پنج میلیون جمله از سری فوق را با هم جمع کنیم.
طبق محاسبهٔ کامپیوتری سری فوق، تعداد سری و اعشار محاسبه شده مطابق زیر است:
- ۱۰۰ میلیون جمله: ۷ رقم اعشار
- یک میلیارد جمله: ۸ رقم اعشار
ارقام بالا نشان می‌دهد که این الگوریتم رشد نمایی شدیدی دارد که زمان زیادی را می‌تواند برای محاسبهٔ ارقام بسیار بالا صرف نماید.
ماشین حساب
روش گاوس - لژاندر
این روش برای اولین بار در آثار کارل فردریش گاوس (1777-1855) و آدرین-ماری لژاندر (1752-1833) ارائه شد. نکته جالب راجع به این روش این است که تنها در 25 گام تکرار، 45 میلیون رقم اعشار صحیح عدد پی را تولید می کند.
الگوریتم
- تنظیم مقدار اولیه:
$$
{\displaystyle a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\qquad t_{0}={\frac {1}{4}}\qquad p_ {0}=1.}
$$
- مرحله زیر را تا زمان درسترسی به دقت مطلوب اخلاف $a_{n}$ و $b_{n}$ ادامه دهید:
$$
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\\\\t_{n+1}&=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\\\\p_{n+1}&=2p_{n}.\\\end{aligned}}}
$$
- پس از آن $\pi$ تقریبا برابر است با:
$$
{\displaystyle \pi \approx {\frac {(a_{n+1}+b_{n+1})^{2}}{4t_{n+1}}}.}
$$